Supponiamo che ci fosse una base per e un certo numero di dimensioni per il sottospazio W in RR ^ 4. Perché il numero di dimensioni 2?

Risposta:

4 dimensioni meno 2 vincoli = 2 dimensioni

Spiegazione:

Le 3 ° e 4 ° coordinate sono le uniche indipendenti. I primi due possono essere espressi in termini degli ultimi due.

Risposta:

La dimensione di un sottospazio è decisa dalle sue basi, e non dalla dimensione di qualsiasi spazio vettoriale è un sottospazio di.

Spiegazione:

La dimensione di uno spazio vettoriale è definita dal numero di vettori in una base di quello spazio (per spazi infiniti, è definita dalla cardinalità di una base). Si noti che questa definizione è coerente poiché possiamo dimostrare che qualsiasi base di uno spazio vettoriale avrà lo stesso numero di vettori di qualsiasi altra base.

In caso di # RR ^ n # lo sappiamo #dim (RR ^ n) = n # come

#{(1,0,0,…0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)}#

è una base per # RR ^ n # e ha # N # elementi.

In caso di #W = s, t in RR # possiamo scrivere qualsiasi elemento in # W # come #svec (u) + tvec (v) # dove #vec (u) = (4,1,0,1) # e #vec (v) = (-1,0,1,0) #.

Da questo, abbiamo quello # {vec (u), vec (v)} # è un set spanning per # W #. Perché #vec (u) # e #vec (v) # chiaramente non sono multipli scalari l'uno dell'altro (notare le posizioni del #0#s), questo significa # {vec (u), vec (v)} # è un set di spanning linearmente indipendente per # W #, cioè una base. Perché # W # ha una base con #2# elementi, lo diciamo #dim (W) = 2 #.

Si noti che la dimensione di uno spazio vettoriale non dipende dal fatto che i suoi vettori possano esistere in altri spazi vettoriali di dimensioni maggiori. L'unica relazione è che se # W # è un sottospazio di # # V poi #dim (W) <= dim (V) # e #dim (W) = dim (V) <=> W = V #