Qual è l'intervallo della funzione f (x) = 5 ^ (sqrt (2x ^ 2-1))?

Risposta:

L'intervallo è 1, # Oo #)

Spiegazione:

Quando osservo per la prima volta questo problema, mi concentrerei sul dominio. Avere x sotto una radice quadrata di solito si traduce in un dominio limitato. Questo è importante perché se i punti non esistono nel dominio, allora dobbiamo assicurarci di non includerli nell'intervallo!

Il dominio per #f (x) # è (-# Oo #, -#sqrt (1/2) #)# # Uu(#sqrt (1/2) #, # Oo #), come # 2x ^ 2 -1 # non può essere inferiore a #0# o il numero risultante sarà immaginario.

Ora, dobbiamo guardare al comportamento finale per vedere dove si sta dirigendo la funzione # Oo # e -# Oo # per #X#. Quando guardiamo al comportamento finale, possiamo ignorare dettagli più piccoli che non influenzano la forma generale della funzione. Quando si descrive il comportamento finale, la funzione #G (x) # viene in genere utilizzato.

g (x) = # 5 ^ sqrt (x ^ 2) #

g (x) = # 5 ^ | x | #

E 'plug-in' infinito negativo e positivo

g (-# Oo #) = # 5 ^ | -oo | #

g (# # -Oo) = # Oo #

g (# Oo #) = # 5 ^ | oo | #

g (# Oo #) = # Oo #

#f (x) # si dirige verso l'infinito positivo in entrambi i modi

Ora, dobbiamo trovare il minimo che la funzione sia. Tieni presente che #f (x) # non è continuo come abbiamo dimostrato nel suo dominio limitato.

Da #f (x) # è una funzione pari (simmetrica sull'asse y) e # Y # aumenta come la grandezza di #X# fa, il minimo # Y # il valore sarà trovato dove #X# è più vicino a 0. Nel nostro caso, sarà -#sqrt (1/2) # o #sqrt (1/2) # a causa del dominio limitato. Consente di collegare #sqrt (1/2) # per trovare il minimo

f (#sqrt (1/2) #) = # 5 ^ sqrt (2 * (sqrt (1/2)) ^ 2-1) #

f (#sqrt (1/2) #) = # 5 ^ sqrt (2 * (1/2) -1) #

f (#sqrt (1/2) #) = #5^(1-1)#

f (#sqrt (1/2) #) = #5^0#

f (#sqrt (1/2) #) = 1

Quindi, l'intervallo sarà 1, # Oo #)

Risposta:

1, infinito positivo)

Spiegazione:

Quando si traccia questa funzione (si consiglia Desmos se non si ha un grafico) è possibile vedere la parte più bassa della funzione tocca 1 sull'asse y e continua positivamente all'infinito. Un modo semplice per trovare questo senza un grafico è vedere se hai qualche restrizione nell'equazione. Poiché non ci sono radici quadrate di numeri negativi, sappiamo che se impostiamo l'esponente su 0, possiamo trovare il valore x più basso possibile.

#sqrt ((2x ^ 2) -1) = 0 #

# (2x ^ 2) -1 = 0 ^ 2 #

# 2x ^ 2-1 = 0 #

# 2x ^ 2 = 1 #

# X ^ 2 = 1/2 #

# X = sqrt (1/2) #

Ora che abbiamo la restrizione Dominio, possiamo usarla per l'equazione originale

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((2 (sqrt (1/2)) ^ 2) -1) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((2 (1/2) -1) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((1-1) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt (0) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ 0 #

#f (sqrt (1/2)) = 1 #

Ora abbiamo determinato che il valore y più basso possibile è 1, e non vi è alcuna limitazione su quanto possono essere alti i valori y. Pertanto, l'intervallo va da positivo 1 (compreso) a infinito positivo.