Prova f per concavità?

Risposta:

# F # è convesso in # RR #

Spiegazione:

Risolto penso.

# F # è 2 volte differenziabile in # RR # così # F # e # F '# sono continui in # RR #

abbiamo # (F '(x)) ^ 3 + 3 septies' (x) = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2x + 7 #

Differenziando entrambe le parti otteniamo

# 3 * (f '(x)) ^ 2 septies' '(x) + 3F' '(x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 # #<=>#

# 3F '' (x) ((f '(x)) ^ 2 + 1) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 #

• #f '(x) ^ 2> = 0 # così #f '(x) ^ 2 + 1> 0 #

#<=># #f '' (x) = (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) / (3 ((f '(x)) ^ 2 + 1)> 0) #

Abbiamo bisogno del segno del numeratore, quindi consideriamo una nuova funzione

#G (x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 # , #X##nel## RR #

#G '(x) = e ^ x-cosx + 6x #

Lo notiamo #G '(0) = e ^ 0-cos0 + 6 * 0 = 1-1 + 0 = 0 #

Per # x = ¸ # #=># #G '(π) = e ^ π-cosπ + 6π = e ^ π + 1 + 6π> 0 #

Per # X = -π # #G '(- π) = e ^ (- π) -cos (-π) -6π = 1 / e ^ π + cosπ-6π = 1 / e ^ π-1-6π <0 #

Finalmente riceviamo questo tavolo che mostra la monotonia di # G #

Ipotetico # I_1 = (- oo, 0 # e # I_2 = 0, + oo) #

#G (I_1) = g ((- oo, 0) = g (0), lim_ (xrarr-oo) g (x)) = 3, + oo) #

#G (I_2) = g (0, + oo)) = g (0), lim_ (xrarr + oo) g (x)) = 3, + oo) #

perché

• #lim_ (xrarr-oo) g (x) = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) #

# | Sinx | <= 1 # #<=># # -1 <= - sinx <= 1 # #<=>#

# E ^ x + 3x ^ 2 + 2-1 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 2-sinx <= e ^ x + 3x ^ 2 + 2 + 1 # #<=>#

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 <=> #

# E ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g (x) <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

• Usando il teorema dello squeeze / sandwich che abbiamo

#lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + oo = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 3x) #

Perciò, #lim_ (xrarr-oo) g (x) = + oo #

• #lim_ (xrarr + oo) g (x) = lim_ (xrarr + oo) (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) #

Con lo stesso processo finiamo

# E ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g (x) <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

Però, #lim_ (xrarr + oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + oo = e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

Perciò, #lim_ (xrarr + oo) g (x) = + oo #

La gamma di # G # sarà:

# R_g = g (D_G) = g (I_1) UUG (I_2) = 3, + oo) #

• # 0! InR_g = 3, + oo) # così # G # non ha radici in # RR #

  # G # è continuo dentro # RR # e non ha soluzioni. Perciò, # G # conserva l'accesso # RR #

Questo significa

# {(g (x)> 0 "," xεRR), (g (x) <0 "," xεRR):} #

Così, #G (π) = e ^ π-sinπ + 3π ^ 2 + 2 = e ^ π + 3π ^ 2 + 2> 0 #

Di conseguenza #G (x)> 0 #, #X##nel## RR #

E #f '' (x)> 0 #, #X##nel## RR #

#-># # F # è convesso in # RR #

Risposta:

Vedi sotto.

Spiegazione:

Dato #y = f (x) # il raggio di curvatura della curva è dato da

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') # così dato

# (f ') ^ 3 + 3f' = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2 x + 7 # noi abbiamo

# 3 (f ') ^ 2f' '+ 3f' '= e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # o

#f '' (1+ (f ') ^ 2) = 1/3 (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # o

# 1 / (f '' (1+ (f ') ^ 2)) = 3 / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # o

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') = (3 (1+ (f') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) #

ora analizzando #g (x) = e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # noi abbiamo

#min g (x) = 0 # per #x in RR # così #g (x) ge 0 # e poi la curvatura in

#rho = (3 (1+ (f ') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # non cambia segno quindi lo concludiamo #f (x) # l'epigrafe è convessa in # RR #