Riscrivi l'equazione in un sistema x'y' ruotato senza x'y 'termine. Posso avere aiuto? Grazie!

Risposta:

La seconda selezione:

# X ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Spiegazione:

L'equazione data

# 31x ^ 2 + 10sqrt3xy + 21y ^ 2-144 = 0 "1" #

è nella forma generale cartesiana per una sezione conica:

# Axe ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 #

dove #A = 31, B = 10sqrt3, C = 21, D = 0, E = 0 e F = -144 #

La rotazione di riferimento degli assi ci dà equazioni che ci permettono di ruotare una sezione conica ad un angolo specificato, # # Theta. Inoltre, ci dà un'equazione che ci permette di forzare il coefficiente del # # Xy diventare 0.

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (B / (C-A)) #

Sostituendo i valori dell'equazione 1:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 ((10sqrt3) / (21-31)) #

Semplificare:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (-sqrt3) #

#theta = -pi / 6 #

Utilizzare l'equazione (9.4.4b) per verificare che la nuova rotazione determini il coefficiente di # # Xy termine per essere 0:

#B '= (A-C) sin (2theta) + B cos (2theta) #

#B '= (31-21) sin (2 (-pi / 6)) + 10sqrt3cos (2 (-pi / 6)) #

#B '= 0 larr # verificato.

Usa l'equazione (9.4.4a) per calcolare #UN'#:

#A '= (A + C) / 2 + (A - C) / 2 cos (2theta) - B / 2 sin (2theta) #

#A '= (31 + 21) / 2 + (31 - 21) / 2 cos (2 (-pi / 6)) - (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

#A '= 36 #

Usa l'equazione (9.4.4c) per calcolare # C '#:

#C '= (A + C) / 2 + (C - A) / 2 cos (2theta) + B / 2 sin (2theta) #

#C '= (31 + 21) / 2 + (21 - 31) / 2 cos (2 (-pi / 6)) + (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

#C '= 16 #

Usare l'equazione (9.4.4f) per calcolare # F '#

#F '= F #

#F '= -144 #

Ora possiamo scrivere la forma non ruotata:

# 36x ^ 2 + 16y ^ 2-144 = 0 #

Dividi entrambi i lati per 144:

# x ^ 2/4 + y ^ 2 / 9-1 = 0 #

Aggiungi 1 a entrambi i lati:

# X ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Risposta:

Opzione B

Spiegazione:

Possiamo scrivere l'equazione in forma di matrice e quindi girarla sul suo asse principale.

Permettere:

#bb x ^ T M bb x = x, y (a, b), (b, c) (x), (y) = Q #

# = (x, y) (ax + b y), (bx + cy) = Q #

# = ax ^ 2 + 2b xy + cy ^ 2 = Q #

#implies a = 31, d = 5 sqrt3, c = 21, Q = 144 #

E così in forma di matrice:

#bb x ^ T (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) bb x = 144 qquad square #

Per ruotare gli assi # # BBX di # # Theta:

#bb x ^ '= R (theta) bb x #

• #implies bbx = R ^ (- 1) bbx ^ '#

trasposizione #bb x ^ '= R bb x #:

#implies bb x ^ ('^ T) = (R bbx) ^ T = bb x ^ T R ^ T #

#implies bb x ^ ('^ T) = bb x ^ T R ^ (- 1) #, come R è ortogonale

• #implies bb x ^ ('^ T) R = bb x ^ T #

Mettendo questi ultimi 2 risultati in #piazza#:

#bb x ^ ('^ T) R (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) R ^ (- 1) bb x ^' = 144 #

IOW se R è la matrice che diagonalizza M, quindi abbiamo l'equazione in termini dei suoi assi principali per la matrice autovalore diagonale D, cioè:

• #D = R M R ^ (- 1) #

M Gli autovalori sono 36 e 16 quindi può essere diagonalizzato come:

#bb x ^ ('^ T) D bb x ^' = bb x ^ ('^ T) (36, 0), (0, 16) bb x ^' = 144 #

# (x ', y') (9, 0), (0, 4) ((x '), (y')) = 36 #

#x ^ ('^ 2) / 4 + y ^ (' ^ 2) / 9 = 1 #