La famiglia del Tennessee di Emory Harrison aveva 13 ragazzi. Qual è la probabilità che una famiglia di 13 bambini abbia 13 ragazzi?

Risposta:

Se la probabilità di dare alla luce un ragazzo è # P #, quindi la probabilità di avere # N # i ragazzi di fila lo sono # P ^ N #.

Per # P = 1/2 # e # N = 13 #, è #(1/2)^13#

Spiegazione:

Considera un esperimento casuale con solo due possibili esiti (si chiama esperimento di Bernoulli). Nel nostro caso l'esperimento è la nascita di un figlio da parte di una donna, e due risultati sono "maschi" con probabilità # P # o "ragazza" con probabilità # 1-p # (la somma delle probabilità deve essere uguale a #1#).

Quando due esperimenti identici vengono ripetuti in fila indipendentemente l'uno dall'altro, l'insieme dei possibili risultati si sta espandendo. Ora ce ne sono quattro: "ragazzo / ragazzo", "ragazzo / ragazza", "ragazza / ragazzo" e "ragazza / ragazza". Le probabilità corrispondenti sono:

P("ragazzo ragazzo") # = p * p #

P("ragazzo ragazza") # = p * (1-p) #

P("Ragazza ragazzo") # = (1-p) * p #

P("Figlia / figlia") # = (1-p) * (1-p) #

Si noti che la somma di tutte le probabilità sopra indicate è uguale a #1#, come dovrebbe.

In particolare, la probabilità di "ragazzo / ragazzo" è # P ^ 2 #.

Analogamente, ci sono # 2 ^ N # risultati di # N # esperimenti di fila con la probabilità # N # "ragazzo" risulta uguale a # P ^ N #.

Per informazioni dettagliate sugli esperimenti di Bernoulli, possiamo consigliare di studiare questo materiale su UNIZOR seguendo i collegamenti a Probabilità - Distribuzioni binarie - Bernoulli.