Dimostrare che l'area ombreggiata viola è uguale all'area di incircle del triangolo equilatero (cerchio a strisce gialle)?

Risposta:

Spiegazione:

L'area dell'incircle è # Pir ^ 2 #.

Notando il triangolo rettangolo con ipotenusa # R # e gamba # R # alla base del triangolo equilatero, attraverso la trigonometria o le proprietà di #30 -60 -90 # triangoli retti possiamo stabilire la relazione # R = 2r #.

Si noti che l'angolo opposto # R # è #30 # dal momento che il triangolo equilatero #60 # l'angolo era bisecato.

Questo stesso triangolo può essere risolto attraverso il teorema di Pitagora per mostrare che metà della lunghezza del lato del triangolo equilatero è #sqrt (R ^ 2-r ^ 2) = sqrt (4r ^ 2-r ^ 2) = rsqrt3 #.

Ora esaminando la metà del triangolo equilatero come un triangolo rettangolo, vediamo che l'altezza # H # del triangolo equilatero può essere risolto in termini di # R # usando la relazione #tan (60) = h / (rsqrt3) #. Da #tan (60) = sqrt3 #questo diventa # H / (rsqrt3) = sqrt3 # così # H = 3R #.

L'area del triangolo equilatero è quindi # 1 / 2BH #e la sua base è # # 2rsqrt3 e la sua altezza # 3r #. Quindi, la sua area è # 1/2 (2rsqrt3) (3r) = 3R ^ 2sqrt3 #.

L'area della regione ombreggiata più piccola equivale a un terzo dell'area del triangolo equilatero meno l'incircle, o # Terzo (3r ^ 2sqrt3-pir ^ 2) # che è equivalente a # R ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) #.

L'area del cerchio più grande è # Pir ^ 2 = pi (2r) ^ 2 = 4pir ^ 2 #.

L'area della regione ombreggiata più grande è un terzo dell'area del cerchio più grande meno l'area del triangolo equilatero, o # Terzo (4pir ^ ^ 2-3r 2sqrt3) # che semplifica essere # R ^ 2 ((4Pi-3sqrt3) / 3) #.

L'area totale dell'area ombreggiata è quindi # R ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) + r ^ 2 ((4Pi-3sqrt3) / 3) = r ^ 2 ((3sqrt3-3sqrt3-pi + 4Pi) / 3) = r ^ 2 ((3pi) / 3) = pir ^ 2 #, che è equivalente all'area dell'incircle.

Risposta:

Spiegazione:

Per un triangolo equilatero centro di gravità, centro di circumcircle e orthocenter coincidono.

Quindi Raggio di cicumcircle (R) e raggio di incircle (r) avrà una relazione successiva

#R: r = 2: 1 => R = 2r #

Ora dalla figura è ovvio che area della GRANDE regione ombreggiata viola# = 1/3 (PIR ^ 2-Delta) #

E area della regione SMALL viola# = 1/3 (Delta-pir ^ 2) #

dove #Delta # rappresenta l'area del triangolo equilatero.

Così

#color (viola) ("Area TOTALE della regione ombreggiata viola BIG e PICCOLA" #

# = 1/3 (PIR ^ 2-Delta) +1/3 (Delta-pir ^ 2) #

# = 1/3 (PIR ^ 2-cancelDelta + cancelDelta-pir ^ 2) #

Inserimento di R = 2r

# = 1/3 (pi (2r) ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1/3 (4pir ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1 / cancel3xxcancel3pir ^ 2 #

# = pir ^ 2> colore (arancione) "Area del cerchio a strisce gialle" #

Il diametro per il semicerchio più piccolo è 2r, trova l'espressione per l'area ombreggiata? Ora lascia che il diametro del semicerchio più grande sia 5 calcola l'area dell'area ombreggiata?

Colore (blu) ("Area della regione ombreggiata di semicerchio più piccolo" = ((8r ^ 2-75) pi) / 8 colore (blu) ("Area della regione ombreggiata di semicerchio più grande" = 25/8 "unità" ^ 2 "Area di" Delta OAC = 1/2 (5/2) (5/2) = 25/8 "Area del quadrante" OAEC = (5) ^ 2 (pi / 2) = (25pi) / 2 "Area di segmento "AEC = (25pi) / 2-25 / 8 = (75pi) / 8" Area del semicerchio "ABC = r ^ 2pi L'area della regione ombreggiata del semicerchio più piccolo è:" Area "= r ^ 2pi- (75pi) / 8 = ((8r ^ 2-75) pi) / 8 L'area della reg

Abbiamo un cerchio con un quadrato inscritto con un cerchio inscritto con un triangolo equilatero inscritto. Il diametro del cerchio esterno è di 8 piedi. Il materiale del triangolo costa $ 104,95 al piede quadrato. Qual è il costo del centro triangolare?

Il costo di un centro triangolare è $ 1090.67 AC = 8 come un dato diametro di un cerchio. Pertanto, dal Teorema di Pitagora per il triangolo isoscele di destra Delta ABC, AB = 8 / sqrt (2) Quindi, poiché GE = 1/2 AB, GE = 4 / sqrt (2) Ovviamente, triangolo Delta GHI è equilatero. Il punto E è il centro di un cerchio che circoscrive il GHI delta e, in quanto tale, è un centro di intersezione di mediani, altitudini e bisettrici angolari di questo triangolo. È noto che un punto di intersezione delle mediane divide queste mediane nel rapporto 2: 1 (per la prova vedi Unizor e segui i link Geometria

Considerare 3 cerchi uguali di raggio r all'interno di un dato cerchio di raggio R ciascuno per toccare gli altri due e il cerchio dato come mostrato in figura, quindi l'area della regione ombreggiata è uguale a?

Possiamo formare un'espressione per l'area della regione ombreggiata in questo modo: A_ "ombreggiato" = piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "centro" dove A_ "centro" è l'area della piccola sezione tra i tre cerchi più piccoli. Per trovare l'area di questo, possiamo disegnare un triangolo collegando i centri dei tre cerchi bianchi più piccoli. Poiché ogni cerchio ha un raggio di r, la lunghezza di ciascun lato del triangolo è 2r e il triangolo è equilatero, quindi ha angoli di 60 ^ o ciascuno. Possiamo quindi dire che l'angolo della regione centrale è