Considerare 3 cerchi uguali di raggio r all'interno di un dato cerchio di raggio R ciascuno per toccare gli altri due e il cerchio dato come mostrato in figura, quindi l'area della regione ombreggiata è uguale a?

Possiamo formare un'espressione per l'area della regione ombreggiata in questo modo:

#A_ "ombreggiato" = piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "centro" #

dove #A_ "centro" # è l'area della piccola sezione tra i tre cerchi più piccoli.

Per trovare l'area di questo, possiamo disegnare un triangolo collegando i centri dei tre cerchi bianchi più piccoli. Poiché ogni cerchio ha un raggio di # R #, la lunghezza di ciascun lato del triangolo è # # 2r e il triangolo è equilatero quindi ha angoli di # 60 ^ o # ogni.

Possiamo quindi dire che l'angolo della regione centrale è l'area di questo triangolo meno i tre settori del cerchio. L'altezza del triangolo è semplicemente #sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ #, quindi l'area del triangolo è # 1/2 * base * altezza = 1/2 * 2r * sqrt (3) r = sqrt (3) r ^ 2 #.

L'area dei tre segmenti del cerchio all'interno di questo triangolo è essenzialmente la stessa area della metà di uno dei cerchi (a causa di avere angoli di # 60 ^ o # ciascuno, o #1/6# un cerchio, quindi possiamo dedurre l'area totale di questi settori # 1/2 pir ^ 2 #.

Infine, possiamo elaborare l'area della regione centrale #sqrt (3) r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Tornando così alla nostra espressione originale, l'area della regione ombreggiata è

# Pir ^ 2-3pir ^ 2-r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Risposta:

#A = r ^ 2 (1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3)) #

Spiegazione:

Diamo ai cerchi bianchi un raggio di # R = 1 #. I centri formano un triangolo equilatero di lato #2#. Ogni mediana / altitudine è #sqrt {3} # quindi la distanza da un vertice al centroide è # 2/3 sqrt {3} #.

Il centroide è il centro del cerchio grande, quindi è la distanza tra il centro del cerchio grande e il centro del piccolo cerchio. Aggiungiamo un piccolo raggio di # R = 1 # ottenere

#R = 1 + 2/3 sqrt {3} #

L'area che cerchiamo è l'area del grande cerchio meno il triangolo equilatero e il rimanente #5/6# di ogni piccolo circolo.

#A = pi R ^ 2 - 3 (5/6 pi r ^ 2) - sqrt {3} / 4 (2r) ^ 2 #

#A = pi (1 + 2/3 sqrt {3}) ^ 2 - 3 (5/6 pi) - sqrt {3} #

#A = 1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3) #

Scaliamo di # R ^ 2 # in generale.