Qual è il nuovo metodo di trasformazione per risolvere equazioni quadratiche?

Per esempio, tu hai …

# X ^ 2 + bx #

Questo può essere trasformato in:

# (X + b / 2) ^ 2- (B / 2) ^ 2 #

Scopriamo se l'espressione sopra traduce nuovamente in # X ^ 2 + bx #…

# (X + b / 2) ^ 2- (B / 2) ^ 2 #

# = ({X + b / 2} + b / 2) ({x + b / 2} -b / 2) #

# = (X + 2 * b / 2) x #

# = x (x + b) #

# = X ^ 2 + bx #

La risposta è si.

Ora, è importante notare che # X ^ 2-BX # (notare il segno meno) può essere trasformato in:

# (X-B / 2) ^ 2- (B / 2) ^ 2 #

Quello che stai facendo qui è completando il quadrato. Puoi risolvere molti problemi quadratici completando il quadrato.

Ecco un esempio principale di questo metodo al lavoro:

# Ax ^ 2 + bx + c = 0 #

# Ax ^ 2 + bx = -c #

# 1 / a * (ax ^ 2 + bx) = 1 / a * -c #

# X ^ 2 + b / a * x = -c / a #

# (X + b / (2a)) ^ 2- (b / (2a)) ^ 2 = -c / a #

# (X + b / (2a)) ^ 2-b ^ 2 / (4a ^ 2) = - c / a #

# (X + b / (2a)) ^ 2 = b ^ 2 / (4a ^ 2) -c / a #

# (X + b / (2a)) ^ 2 = b ^ 2 / (4a ^ 2) - (4ac) / (4a ^ 2) #

# (X + b / (2a)) ^ 2 = (b ^ 2-4ac) / (4a ^ 2) #

# X + b / (2a) = + - sqrt (b ^ 2-4ac) / sqrt (4a ^ 2) #

# X + b / (2a) = + - sqrt (b ^ 2-4ac) / (2a) #

# X = -b / (2a) + - sqrt (b ^ 2-4ac) / (2a) #

#:. x = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

La famosa formula quadratica può essere derivata da completando il quadrato.

Il nuovo metodo di trasformazione per risolvere equazioni di secondo grado.

CASO 1. Risolvere il tipo # x ^ 2 + bx + c = 0 #. Risolvere significa trovare 2 numeri conoscendo la loro somma (# -B #) e il loro prodotto (# C #). Il nuovo metodo compone coppie di fattori di (# C #) e, allo stesso tempo, applica la regola dei segni. Quindi, trova la coppia la cui somma è uguale a (# B #) o (# -B #).

Esempio 1. Risolvere # x ^ 2 - 11x - 102 = 0 #.

Soluzione. Coppia di fattori di composizione di #c = -102 #. Le radici hanno segni diversi. Procedere: #(-1, 102)(-2, 51)(-3, 34)(-6, 17).# L'ultima somma # (- 6 + 17 = 11 = -b). # Quindi le 2 radici reali sono: #-6# e #17#. Nessun factoring per raggruppamento.

CASO 2. Risoluzione del tipo standard: # ax ^ 2 + bx + c = 0 # (1).

Il nuovo metodo trasforma questa equazione (1) in: # x ^ 2 + bx + a * c = 0 # (2).

Risolvi l'equazione (2) come abbiamo fatto nel CASO 1 per ottenere le 2 radici reali # # Y_1 e # # Y_2. Quindi, dividi # # Y_1 e # # Y_2 dal coefficiente a per ottenere le 2 radici reali # # X_1 e # # X_2 di equazione originale (1).

Esempio 2. Risolvere # 15x ^ 2 - 53x + 16 = 0 #. (1) # a * c = 15 (16) = 240. #

Equazione trasformata: # x ^ 2 - 53 + 240 = 0 # (2). Risolvi l'equazione (2). Entrambe le radici sono positive (Regola dei segni). Coppia di fattori di composizione di # a * c = 240 #. Procedere: #(1, 240)(2, 120)(3, 80)(4, 60)(5, 48)#. Questa ultima somma è # (5 + 48 = 53 = -b) #. Quindi, le 2 radici reali sono: # y_1 = 5 # e

# y_2 = 48 #. Tornando all'equazione originale (1), le 2 radici reali sono: # x_1 = y_1 / a = 5/15 = 1/3; # e # x_2 = y_2 / a = 48/15 = 16 / 5. # Nessun binomio di fattorizzazione e risoluzione.

I vantaggi del nuovo metodo di trasformazione sono: semplice, veloce, sistematico, senza ipotesi, senza factoring raggruppando e senza risolvere i binomi.