Cos'è un gruppo abeliano, da una prospettiva algebra lineare / astratta?

Risposta:

Un gruppo abeliano è un gruppo con la proprietà aggiuntiva dell'operazione di gruppo che è commutativa.

Spiegazione:

UN gruppo # <G, •> # è un set # G # insieme con un'operazione binaria # •: GxxG-> G # che soddisfano le seguenti condizioni:

1. # G # è chiuso sotto #•#.

   Per ogni # A, Bing #, noi abbiamo # a • b in G #

2. #•# è associativo.

   Per ogni # A, b, Cing #, noi abbiamo # (a • b) • (c) = a • (b • c) #

3. # G # contiene un elemento identitario

   Lì esiste # # Eing tale che per tutti # # Aing, # • un e = e • a = a #

4. Ogni elemento di # G # ha un inverso nel # G #

   Per tutti # # Aing lì esiste #A ^ (- 1) ING # così # • un a ^ (- 1) = a ^ (- 1) • a = e #

Si dice che un gruppo sia abelian se ha anche la proprietà che #•# è commutativo, cioè per tutti # A, Bing #, noi abbiamo # a • b = b • a #.

Il gruppo # <ZZ, +> # (i numeri interi con aggiunta standard) è un gruppo abeliano, in quanto soddisfa tutte e cinque le condizioni di cui sopra.

Il gruppo # GL_2 (RR) # (l'insieme di invertibili # 2 "x" 2 # matrici con elementi reali insieme a moltiplicazione di matrici) è non-abeliano, poiché mentre soddisfa le prime quattro condizioni, la moltiplicazione di matrice tra matrici invertibili non è necessariamente commutativa. Per esempio:

#((1,1),(1,0))((1,0),(1,1)) = ((2,1),(1,0))#

ma

#((1,0),(1,1))((1,1),(1,0)) = ((1,1),(2,1))#