Come si esprime cos (pi / 3) * sin ((5 pi) / 8) senza utilizzare prodotti di funzioni trigonometriche?

Risposta:

Potrebbe essere "barare", ma vorrei semplicemente sostituire #1/2# per #cos (pi / 3) #.

Spiegazione:

Probabilmente dovresti usare l'identità

#cos a sin b = (1/2) (sin (a + b) -sin (a-b)) #.

Mettere in # a = pi / 3 = {8 pi} / 24, b = {5 pi} / 8 = {15 pi} / 24 #.

Poi

#cos (pi / 3) sin ({5 * pi} / 8) = (1/2) (sin ({23 * pi} / 24) -sin ({- 7 * pi} / 24)) #

# = (1/2) (sin ({ pi} / 24) + sin ({7 * pi} / 24)) #

dove nell'ultima riga usiamo #sin (pi-x) = sin (x) # e #sin (-x) = - sin (x) #.

Come puoi vedere, questo è ingombrante se paragonato alla semplice messa in scena #cos (pi / 3) = 1/2 #. Le relazioni trigonometriche di somma di prodotto e differenza di prodotto sono più utili quando non è possibile valutare entrambi i fattori nel prodotto.

Risposta:

# - (1/2) cos (pi / 8) #

Spiegazione:

#P = cos (pi / 3).sin ((5pi) / 8) #

Tabella Trig -> #cos (pi / 3) = 1/2 #

Cerchio delle unità di trigono e proprietà degli archi complementari ->

#sin ((5pi) / 8) = sin (pi / 8 + (4pi) / 8) = sin (pi / 8 + pi / 2) = #

# = - cos (pi / 8). #

P può essere espresso come:

#P = - (1/2) cos (pi / 8) #

NOTA. Possiamo valutare #cos (pi / 8) # usando l'identità trigonometrica:

# 1 + cos (pi / 4) = 2cos ^ 2 (pi / 8) #