Come trovi la derivata di (cos ^ 2 (x) sin ^ 2 (x))?

Risposta:

# # Sin2xcos2x

Spiegazione:

In questo esercizio dobbiamo applicare: due proprietà

il derivato del prodotto:

#color (rosso) ((uv) '= u' (x) v (x) + v '(x) u (x)) #

La derivata di un potere:

#color (blu) ((u ^ n (x)) '= n (u) ^ (n-1) (x) u' (x)) #

In questo esercizio lascia:

#color (marrone) (u (x) = cos ^ 2 (x)) #

#color (blu) (u '(x) = 2cosxcos'x) #

#U '(x) = - 2cosxsinx #

Conoscendo l'identità trigonometrica che dice:

#color (verde) (sin2x = 2sinxcosx) #

#U '(x) = - colore (verde) (sin2x) #

Permettere:

#color (marrone) (v (x) = sin ^ 2 (x)) #

#color (blu) (v '(x) = 2sinxsin'x) #

#v '(x) = 2sinxcosx #

#v '(x) = colore (verde) (sin2x) #

Così, # (Cos ^ 2xsin ^ 2x) '#

# = Colore (rosso) ((UV) '#

# = Colore (rosso) (u '(x) v (x) + v' (x) u (x)) #

# = (- sin2x) (sin ^ 2x) + sin (2x) cos ^ 2x #

# = Sin2x (cos ^ 2x-sin ^ 2x) #

Conoscendo l'identità trigonometrica che dice:

#color (verde) (cos2x = cos ^ 2x-sin ^ 2x) #

Perciò, # (Cos ^ 2xsin ^ 2x) '= sin2xcos2x #

Mostra che cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Sono un po 'confuso se creo Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) e cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), diventerà negativo come cos (180 ° -theta) = - costheta in il secondo quadrante. Come faccio a dimostrare la domanda?

Vedi sotto. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Come trovi la derivata di y = sin ^ 2x cos ^ 2x?

Dy / dx = -2sinxcosx (sin ^ 2x-cos ^ 2x) Usa la regola del prodotto: Se y = f (x) g (x), quindi dy / dx = f '(x) g (x) + g' ( x) f (x) Quindi, f (x) = sin ^ 2x g (x) = cos ^ 2x Usa la regola di catena per trovare entrambe le derivate: Ricorda che d / dx (u ^ 2) = 2u * (du) / dx f '(x) = 2sinxd / dx (sinx) = 2sinxcosx g' (x) = 2cosxd / dx (cosx) = - 2sinxcosx Quindi, dy / dx = 2sinxcosx (cos ^ 2x) -2sinxcosx (sin ^ 2x) = > -2sinxcosx (sin ^ 2x-cos ^ 2x) Esiste l'identità di 2sinxcosx = sin2x, ma tale identità è più confusa che utile quando si semplificano le risposte.

Come trovi la derivata di G (x) = (4-cos (x)) / (4 + cos (x))?

(8sinx) / (4 + cosx) ^ 2 La derivata del quoziente è definita come segue: (u / v) '= (u'v-v'u) / v ^ 2 Sia u = 4-cosx e v = 4 + cosx Sapendo che il colore (blu) ((d (cosx)) / dx = -sinx) Cerchiamo di trovare u 'e v' u '= (4-cosx)' = 0-colore (blu) ((- sinx )) = sinx v '= (4 + cosx)' = 0 + colore (blu) ((- sinx)) = - sinx G '(x) = (u'v-v'u) / v ^ 2 G' (x) = (sinx (4 + cosx) - (- sinx) (4-cosx)) / (4 + cosx) ^ 2 G '(x) = (4sinx + sinxcosx + 4sinx-sinxcosx) / (4 + cosx ) ^ 2 G '(x) = (8sinx) / (4 + cosx) ^ 2