Qual è l'equazione di forma standard della parabola con una direttrice di x = 5 e focus a (11, -7)?

Risposta:

La forma standard è:

#x = 1 / 12y ^ 2 + 14 / 12y + 145/12 #

Spiegazione:

Perché la direttrice è una linea verticale, #x = 5 #, la forma del vertice per l'equazione della parabola è:

#x = 1 / (4f) (y-k) ^ 2 + h "1" #

dove (h, k) è il vertice e #f è la distanza orizzontale firmata dal vertice al fuoco.

Sappiamo che la coordinata y, k, del vertice è la stessa della coordinata y del focus:

#k = -7 #

Sostituisci -7 per k nell'equazione 1:

#x = 1 / (4f) (y - 7) ^ 2 + h "2" #

Sappiamo che la coordinata x del vertice è il punto medio tra la coordinata x del fuoco e la coordinata x della direttrice:

# h = (x_ "focus" + x_ "directrix") / 2 #

# h = (11 + 5) / 2 #

#h = 16/2 #

#h = 8 #

Sostituisci 8 per h in equazione 2:

#x = 1 / (4f) (y - 7) ^ 2 + 8 "3" #

La distanza focale è la distanza orizzontale firmata dal vertice alla messa a fuoco:

#f = x_ "focus" -h #

#f = 11-8 #

#f = 3 #

Sostituisci 3 per f in equazione 3:

#x = 1 / (4 (3)) (y - 7) ^ 2 + 8 #

Moltiplicheremo il denominatore e scriveremo come +

#x = 1/12 (y + 7) ^ 2 + 8 #

Espandi il quadrato:

#x = 1/12 (y ^ 2 + 14y + 49) + 8 #

Distribuisci il #1/12#

#x = 1 / 12y ^ 2 + 14 / 12y + 49/12 + 8 #

Combina i termini costanti:

#x = 1 / 12y ^ 2 + 14 / 12y + 145/12 #

Risposta:

# X = y ^ 2/12 + 7 / + 6y 145/12 #

Spiegazione:

direttrice # X = 5 #

Messa a fuoco #(11, -7)#

Da questo possiamo trovare il vertice.

Guarda il diagramma

Il vertice si trova esattamente tra Directrix e Focus

# x, y = (5 + 11) / 2, (-7 + (-7)) / 2 = (8, -7) #

La distanza tra Focus e vertice è # A = 3 #

La parabola si sta aprendo a destra

L'equazione della Parabola qui è -

# (Y-k) ^ 2 = 4a (x-h) #

#(HK)# è il vertice

# H = 8 #

# K = -7 #

Collegare # H = 8; k = -7 e a = 3 # nell'equazione

# (Y - (- 7)) ^ 2 = 4,3 (x-8) #

# (Y + 7) ^ 2 = 4,3 (x-8) #

# 12x-96 = y ^ 2 + 14y + 49 # per trasposizione

# 12x = y ^ 2 + 14y + 49 + 96 #

# 12x = y ^ 2 + 14Y + 145 #

# X = y ^ 2/12 + 14 / + 12y 145/12 #

# X = y ^ 2/12 + 7 / + 6y 145/12 #