Un biglietto viene estratto a caso da una busta contenente 30 biglietti numerati da 1 a 30. Come si trova la probabilità che si tratti di un multiplo di 2 o 3?

Risposta:

#2/3#

Spiegazione:

Considera le sequenze:

Multipli di 2#->#2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30

Multipli di 3# -> 3, colore (rosso) (6), 9, colore (rosso) (12), 15, colore (rosso) (18), 21, colore (rosso) (24), 27, colore (rosso) (30) #

Si noti che i multipli di 3 che sono colorati di rosso si verificano anche in multipli di 2.

Quindi il numero totale di numeri disponibili tra cui scegliere è 15 + 5 = 20

Quindi la probabilità è #20/30=2/3#

Risposta:

La probabilità è #2/3#.

Spiegazione:

Noi usiamo il somma della regola della probabilità, che afferma che per qualsiasi due eventi #UN# e # B #,

#P (A "o" B) = P (A) + P (B) -P (A "e" B) #

Illustriamo questo con la domanda di cui sopra come esempio.

Per questa domanda, lasciamo #UN# sii l'evento che un biglietto è un multiplo di 2, e lo lasciamo # B # essere l'evento in cui si tratta di un multiplo di 3. Delle 30 carte, la metà di esse sarà un multiplo di 2: #{2, 4, 6, …, 28, 30}.# Quindi abbiamo:

#P (A) = 15/30 = 1/2 #

E tra le 30 carte, 10 saranno multipli di 3: #{3, 6, 9, …, 27, 30},# dandoci

#P (B) = 10/30 = 1/3 #

Ora se aggiungiamo queste due probabilità insieme, otteniamo

#P (A) + P (B) = 15/30 + 10/30 #

#color (bianco) (P (A) + P (B)) = 25 / 30color (bianco) "XXXX" = 5/6 #

Potremmo essere tentati di fermarci qui, ma ci sbagliammo. Perché? Perché noi abbiamo doppio contato le probabilità di scegliere alcuni dei numeri. Quando mettiamo in fila i due set, è facile vedere quali:

# {colore (bianco) (1,) 2, colore (bianco) (3,) 4, colore (bianco) (5,) 6, colore (bianco) (7,) 8, colore (bianco) (9,) 10, colore (bianco) (11,) 12, …, colore (bianco) (27,) 28, colore (bianco) (29,) 30} #

# {colore (bianco) (1, 2,) 3, colore (bianco) (4, 5,) 6, colore (bianco) (7, 8,) 9, colore (bianco) (10, 11,) 12, …, 27, colore (bianco) (28, 29,) 30} #

Abbiamo contato due volte tutti i multipli di 6, cioè tutti i numeri di multipli sia 2 che 3. Questo è il motivo per cui dobbiamo sottrarre la probabilità di "A e B" dalla somma di cui sopra; rimuove il doppio conteggio di qualsiasi risultato comune a #UN# e # B #.

Cosa è #P (A "e" B) #? È la probabilità che il biglietto sia un multiplo di 2 e di 3 contemporaneamente - in altre parole, un multiplo di 6. Nei 30 biglietti, ci sono 5 risultati possibili, quindi:

#P (A "e" B) = 5/30 = 1/6 #

Ritornando alla nostra formula originale, abbiamo

#P (A "o" B) = P (A) + P (B) -P (A "e" B) #

#colore (bianco) (P (A "o" B)) = 15/30 + 10 / 30-5 / 30 #

#colore (bianco) (P (A "o" B)) = 20 / 30colore (bianco) "XXXXXXXi" = 2/3 #.