Come trovi un'approssimazione lineare alla radice (4) (84)?

Risposta:

#root (4) (84) ~~ 3.03 #

Spiegazione:

Nota che #3^4 = 81#, che è vicino a #84#.

Così #root (4) (84) # è un po 'più grande di #3#.

Per ottenere una migliore approssimazione, possiamo usare un'approssimazione lineare, a.k.a il metodo di Newton.

Definire:

#f (x) = x ^ 4-84 #

Poi:

#f '(x) = 4x ^ 3 #

e dato uno zero approssimativo # x = a # di #f (x) #, una migliore approssimazione è:

#a - (f (a)) / (f '(a)) #

Quindi nel nostro caso, mettendo # A = 3 #, una migliore approssimazione è:

# 3- (f (3)) / (f '(3)) = 3- (3 ^ 4-84) / (4 (3) ^ 3) = 3- (81-84) / (4 * 27) = 3 + 1/36 = 109/36 = 3.02bar (7) #

Questo è quasi corretto #4# cifre significative, ma citiamo l'approssimazione come #3.03#

Risposta:

#root (4) (84) ~~ 3,02,778 mila #

Spiegazione:

Si noti che l'approssimazione lineare vicino a un punto #un# può essere dato da:

#f (x) ~~ f (a) + f '(a) (x-a) #

Se dato: #f (x) = root (4) (x) #

quindi una scelta adatta per #un# sarebbe # A = 81 # perché lo sappiamo #root (4) 81 = 3 # esattamente ed è vicino a #84#.

Così:

#f (a) = f (81) = root (4) (81) = 3 #

Anche;

#f (x) = x ^ (1/4) # così #f '(x) = 1 / 4x ^ (- 3/4) = 1 / (4root (4) (x) ^ 3) #

#f '(81) = 1 / (4root (4) (81) ^ 3) = 1 / (4 * 3 ^ 3) = 1/108 #

Quindi possiamo approssimare (vicino #81#):

#f (x) ~~ f (a) + f '(a) (x-a) #

#implies root (4) (x) ~~ 3 + 1 / (108) (x-81) #

Così:

#root (4) (84) = 3 + 1/108 (84-81) #

#3+1/108*3=324/3+3/108=327/108~~3.02778#

Il valore più accurato è #3.02740#

quindi l'approssimazione lineare è abbastanza vicina.

Risposta:

#root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #

Spiegazione:

Possiamo dire che abbiamo una funzione di #f (x) = root (4) (x) #

e # root (4) (84) = f (84) #

Ora, troviamo la derivata della nostra funzione.

Usiamo la regola del potere, che afferma che se #f (x) = x ^ n #, poi #f '(x) = nx ^ (n-1) # dove # N # è una costante

#f (x) = x ^ (1/4) #

=>#f '(x) = 1/4 * x ^ (1 / 4-1) #

=>#f '(x) = (x ^ (- 3/4)) / 4 #

=>#f '(x) = 1 / x ^ (3/4) * 1/4 in classifica

=>#f '(x) = 1 / (4x ^ (3/4)) #

Ora, per approssimare # root (4) (84) #, cerchiamo di trovare la quarta potenza perfetta più vicina a 84

Vediamo…

#1#

#16#

#81#

#256#

Lo vediamo #81# è il nostro più vicino.

Ora troviamo la linea tangente della nostra funzione # X = 81 #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (3/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (2/4) * 81 ^ (1/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 9 * 3) #

=>#f '(81) = 1/108 #

Questa è la pendenza che stiamo cercando.

Proviamo a scrivere l'equazione della linea tangente nella forma # Y = mx + b #

Bene, cos'è # Y # uguale a quando # X = 81 #?

Vediamo…

#f (81) = radice (4) (81) #

=>#f (81) = 3 #

Pertanto, ora abbiamo:

# 3 = M81 + b # Sappiamo che la pendenza, # M #, è #1/108#

=># 3 = 1/108 * 81 + b # Ora possiamo risolvere # B #.

=># 3 = 81/108 + b #

=># 3 = 3/4 + b #

=># 2 1/4 = b #

Pertanto, l'equazione della linea tangente è # y = 1 / 108x + 2 1/4 #

Ora usiamo 84 al posto di #X#.

=># y = 1/108 * 84 + 2 1/4 #

=># y = 1/9 * 7 + 2 1/4 #

=># Y = 7/9 + 9/4 #

=># Y = 28/36 + 81/36 #

=># Y = 109/36 #

=># Y = 3.02bar7 #

Perciò, #root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #