Supponiamo che io non abbia una formula per g (x) ma so che g (1) = 3 e g '(x) = sqrt (x ^ 2 + 15) per tutti x. Come si usa un'approssimazione lineare per stimare g (0,9) e g (1,1)?

Abbi un po 'di pazienza, ma coinvolge l'equazione di intercettazione di una linea basata sulla derivata 1 … E vorrei portarti al modo di fare la risposta, non solo dare tu la risposta …

Ok, prima di arrivare alla risposta, ti farò entrare nella (un po ') discussione umoristica del mio compagno di ufficio e ho appena avuto …

Io: "Okay, waitasec … Tu non sai g (x), ma sai che la derivata è vera per tutti (x) … Perché vuoi fare un'interpretazione lineare basata sulla derivata? Prendi solo l'integrale della derivata, e tu hai la formula originale … Giusto?"

OM: "Aspetta, cosa?" legge la domanda di cui sopra "Santo cielo, non l'ho fatto da anni!"

Quindi, questo porta a una discussione tra noi su come integrare questo, ma ciò che il professore vuole davvero (probabilmente) non è di fare l'operazione inversa (che in alcuni casi potrebbe essere veramente DURO), ma per capire che cosa la prima derivata è in realtà.

Quindi ci siamo grattati la testa e ci siamo concentrati sui nostri ricordi collettivi invecchiati dall'età, e alla fine abbiamo convenuto che la seconda derivata è il massimo / minimo locale, e la prima derivata (quella a cui tieni) è la pendenza della curva al punto dato.

Bene, cosa c'entra questo con il prezzo dei vermi in Messico? Bene, se facciamo un'ipotesi che la pendenza rimanga relativamente costante per tutti i punti "vicini" (per sapere questo, devi guardare la curva e usare il buon giudizio basato su ciò che sai sulle cose - ma poiché questo è ciò che il tuo prof vuole, questo è quello che ottiene!), quindi possiamo fare un'interpolazione lineare - che è esattamente quello che hai chiesto!

Va bene, allora - la carne della risposta:

La pendenza (m) della funzione al nostro valore noto è:

m =#sqrt (x ^ 2 + 15) #

Pertanto, la pendenza in corrispondenza del punto noto (x = 1) è:

m =#sqrt (1 ^ 2 + 15) #

m =#sqrt (1 + 15) #

m =#sqrt (16) #

m = 4

Ricorda, quindi, che la formula per una linea (necessaria per l'interpolazione lineare) è:

# Y = mx + b #

Ciò significa che per i punti "vicini" al nostro valore noto, possiamo approssimare i valori come su una linea con pendenza m, e y-intercetta b. o:

#G (x) = mx + b #

#G (x) = 4x + b #

Quindi, quindi, cos'è # B #?

Risolviamo per questo usando il nostro valore noto:

#G (1) = 3 #

# 4 (1) + b = 3 #

# 4 + b = 3 #

# B = -1 #

Ora conosciamo la formula per la linea che approssima la nostra curva nel punto conosciuto:

g (x#~=#1) = 4x-1

Quindi, no, inseriamo i nostri punti di approssimazione per ottenere il valore approssimativo, oppure:

#G (0,9) ~ = 4 (0,9) -1 #

#G (0,9) ~ = 3.6-1 #

#G (0,9) ~ = 2.6 #

e

#G (1.1) ~ = 4 (1,1) -1 #

#G (1.1) ~ = 4.4-1 #

#G (1.1) ~ = 3.4 #

Facile, giusto?