Quando faccio i moltiplicatori di langrage per il calcolo 3 ... diciamo che ho già trovato i miei punti critici e ne ho ricavato un valore. come faccio a sapere se è un valore minimo o massimo?

Risposta:

Un modo possibile è l'assia (2 ° test derivato)

Spiegazione:

In genere per verificare se i punti critici sono min o max, si utilizzerà spesso il secondo test derivativo, che richiede di trovare 4 derivate parziali, assumendo #f (x, y) #:

#f _ { "xx"} (x, y) #, #f _ { "xy"} (x, y) #, #f _ { "YX"} (x, y) #, e #f _ { "aa"} (x, y) #

Si noti che se entrambi #f _ { "xy"} # e #f _ { "YX"} # sono continui in una regione di interesse, saranno uguali.

Una volta che hai definito i 4, puoi usare una matrice speciale chiamata Hessian per trovare il determinante di quella matrice (che, abbastanza confusamente, viene spesso chiamata anche Hessian), che ti darà alcune informazioni su la natura del punto. Quindi, definisci la Matrice hessiana come:

#H = | (f_ {"xx"} colore (bianco) (, aa) f_ {xy}), (f_ {yx} colore (bianco) (, aa) f_ {yy}) | #

Una volta stabilita la matrice (e sarà una matrice "funzione", poiché i contenuti saranno funzioni di x e y), sarà quindi possibile prendere uno dei punti critici e valutare l'intero determinante della matrice. Vale a dire:

#det (H) = (f_ {"xx"} (x_0, y_0) * f_ {"yy"} (x_0, y_0)) - (f_ {"xy"} (x_0, y_0)) ^ 2 #

A seconda dei risultati di tale calcolo, è possibile conoscere la natura del punto critico:

Se #H> 0 #, c'è un minimo / massimo a quel punto. Controlla il segno di #f _ { "xx"} #. Se è positivo, il punto è un min. Se è negativo, il punto è un max. (Questo è analogo al secondo test derivato "tradizionale" per le funzioni a variabile singola di x.)

Se #H <0 #, c'è un punto di sella a quel punto.

Se #H = 0 #, il test è inconcludente e devi fare affidamento su altri mezzi, come un grafico della funzione per determinare visivamente.