Cos'è cos [sin ^ (- 1) (- 1/2) + cos ^ (- 1) (5/13)]?

Risposta:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + sin ^ (- 1) (- 1/2) = (12 + 5sqrt3) / 26 #

Spiegazione:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + sin ^ (- 1) (- 1/2) #

# = Cos cos ^ (- 1) (5/13) -sin ^ (- 1) (1/2) #

# = Cos cos ^ (- 1) (5/13) -cos ^ (- 1) (sqrt3 / 2) #

Ora, usando #cos ^ (- 1) x-cos ^ (- 1) y = xy + sqrt ((1-x ^ 2) * (1-y ^ 2)) #, noi abbiamo,

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) -sin ^ (- 1) (1/2) #

# = Cos (cos ^ (- 1) (5/13 * sqrt3 / 2 + sqrt ((1- (5/13) ^ 2) * (1- (sqrt (3) / 2) ^ 2)))) #

# = (5sqrt3) / 26 + 12/26 #

# = (12 + 5sqrt3) / 26 #

Risposta:

Con la formula dell'angolo di somma che è

# cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - sin (arcsin (-1/2)) sin (arccos (5/13)) #

# = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (pm 12/13) #

# = pm {5 sqrt {3}} / 6 pm 6/13 #

Spiegazione:

#x = cos (arcsin (-1/2) + arccos (5/13)) #

Queste domande sono abbastanza confuse con la notazione funky della funzione inversa. Il vero problema con domande come questa è che generalmente è meglio trattare le funzioni inverse come multivalore, il che può significare che l'espressione ha anche più valori.

Possiamo anche guardare al valore di #X# per il valore principale delle funzioni inverse, ma lo lascerò agli altri.

Ad ogni modo, questo è il coseno della somma di due angoli, e ciò significa che impieghiamo la formula dell'angolo di somma:

#cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b #

# x = cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - sin (arcsin (-1/2)) sin (arccos (5/13)) #

Il coseno del coseno inverso e il seno del seno inverso sono facili. Anche il coseno del seno inverso e del seno inverso del coseno sono semplici, ma è qui che entra in gioco il problema multivalore.

Ci saranno generalmente due angoli non-coterminali che condividono un dato coseno, negazioni l'uno dell'altro, i cui seni saranno negazioni l'uno dell'altro. Ci saranno generalmente due angoli non-coterminali che condividono un dato seno, angoli supplementari, che avranno coseni che sono negazioni l'uno dell'altro. Quindi entrambi i modi ci alzano con a # # Pm. La nostra equazione ne avrà due # Pm # ed è importante notare che sono indipendenti, non collegati.

Prendiamo #arcsin (-1/2) # primo. Questo è ovviamente uno dei cliché di trig, # -30 ^ circ # o # -150 ^ circ #. I coseni saranno # + sqrt {3} / 2 # e # - sqrt {3} / 2 # rispettivamente.

Non abbiamo davvero bisogno di considerare l'angolo. Possiamo pensare al triangolo destro con l'opposto 1 e l'ipotenusa 2 e trovarci adiacente # Sqrt {3} # e coseno # pm sqrt {3} / 2 #. O se questo è troppo pensare, da allora # cos ^ 2theta + sin ^ 2 theta = 1 # poi #cos (theta) = pm sqrt {1 - sin ^ 2 theta} # che ci consente di dire meccanicamente:

# cos (arcsin (-1/2)) = pm sqrt {1 - (-1/2) ^ 2} = pm sqrt {3} / 2 #

Allo stesso modo, #5,12,13# la tripla pitagorica è impiegata qui così

#sin (arccos (5/3)) = pm sqrt {1 - (5/13) ^ 2} = pm 12/13 #

# x = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (pm 12/13) #

#x = pm {5 sqrt {3}} / 6 pm 6/13 #