Numero di valori del parametro alfa in [0, 2pi] per cui la funzione quadratica, (sin alpha) x ^ 2 + 2 cos alpha x + 1/2 (cos alpha + sin alpha) è il quadrato di una funzione lineare è ? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 1

Risposta:

Vedi sotto.

Spiegazione:

Se sappiamo che l'espressione deve essere il quadrato di una forma lineare allora

# (sin alpha) x ^ 2 + 2 cos alpha x + 1/2 (cos alpha + sin alpha) = (ax + b) ^ 2 #

quindi raggruppando i coefficienti che abbiamo

# (alpha ^ 2-sin (alpha)) x ^ 2 + (2ab-2cos alfa) x + b ^ 2-1 / 2 (sinalpha + cosalpha) = 0 #

quindi la condizione è

# {(a ^ 2-sin (alpha) = 0), (ab-cos alpha = 0), (b ^ 2-1 / 2 (sinalpha + cosalpha) = 0):} #

Questo può essere risolto ottenendo prima i valori per # A, b # e sostituendo.

Lo sappiamo # a ^ 2 + b ^ 2 = sin alpha + 1 / (sin alpha + cos alpha) # e

# a ^ 2b ^ 2 = cos ^ 2 alpha # Ora risolvendo

# Z ^ 2- (a ^ 2 + b ^ 2) z + a ^ 2b ^ 2 = 0 #. Risolvendo e sostituendo per # a ^ 2 = sinalpha # otteniamo

#a = b = pm 1 / root (4) (2), alpha = pi / 4 #

#a = pm sqrt (2) / root (4) (5), b = pm 1 / (sqrt (2) root (4) (5)), alpha = pi-tan ^ -1 (2) #