Risposta:
È esattamente una delle radici di #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) # dove #T_n (x) # è il # N #il Polinomio di Chebyshev del primo tipo. Questa è una delle quarantasei radici di:
# 8796093022288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 4964023879598080 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ 26 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 6 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 34 - 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 14 - 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #
Spiegazione:
# 58 ^ circ # non è un multiplo di # 3 ^ circ #. Multipli di # 1 ^ circ # che non sono multipli di # 3 ^ circ # non sono costruibili con una scala e una bussola, e le loro funzioni trigonometriche non sono il risultato di una qualche composizione di numeri interi che usano addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione e radicamento quadrato.
Ciò non significa che non possiamo scrivere un'espressione per #cos 58 ^ circ #. Prendiamo il segno di laurea per indicare un fattore di # {} 2pi / 360 #.
# e ^ {i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ + i sin 58 ^ circ #
#e ^ {- i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ - i sin 58 ^ circ #
# e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ} = 2 cos 58 ^ circ #
#cos 58 ^ circ = 1/2 (e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ}) #
Non è utile.
Possiamo provare a scrivere un'equazione polinomiale di cui si hanno le radici #cos 58 ^ circ # ma probabilmente sarà troppo grande per adattarsi.
# Theta = 2 ^ circ # è #180#th di un cerchio. Da #cos 88 ^ circ = -cos 92 ^ circ # questo significa #cos 2 ^ circ # soddisfa
#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #
#cos (180 ^ circ -44 theta) = cos (46 theta) #
Risolviamo questo per # # Theta primo. #cos x = cos a # ha radici # x = pm a + 360 ^ circ k, # numero intero #K#.
# 180 ^ circ -46 theta = pm 44 theta - 360 ^ circ k #
# 46 theta pm 44 theta = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #
#theta = 2 ^ circ + 4 ^ circ k o theta = 90 ^ circ + 180 ^ circ k #
Sono molte radici e vediamo # Theta = 58 ^ circ # tra loro.
I polinomi #T_n (x) #, chiamati Polinomi di Chebyshev del primo tipo, soddisfano #cos (n theta) = T_n (cos theta) #. Hanno coefficienti interi. Conosciamo i primi dalle formule a doppia e tripla angolazione:
#cos (0 theta) = 1 quad quad # così# quad quad T_0 (x) = 1 #
#cos (1 theta) = cos theta quad quad # così# quad quad T_1 (x) = x #
#cos (2 theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 quad quad # così # quad quad T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #
#cos (3 theta) = 4cos ^ 3 theta - 3 cos theta quad quad # così # quad quad T_3 (x) = 4x ^ 4-3x #
C'è una bella relazione di ricorsione che possiamo verificare:
# T_ {n + 1} (x) = 2x T_ {n} (x) - T_ {n-1} (x) #
Quindi in teoria possiamo generare questi per quanto grande # N # come ci importa.
Se lo lasciamo # x = cos theta, # la nostra equazione
#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #
diventa
#T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) #
Wolfram Alpha è felice di dirci cosa sono. Scriverò l'equazione solo per testare il rendering matematico:
# 8796093022288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 4964023879598080 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ 26 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 6 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 34 - 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 14 - 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #
Sì, questa risposta sta diventando lunga, grazie Socratic. Anway, una delle radici di quel polinomio del 46 ° grado con coefficienti interi è # cos 58 ^ circ #.
