Risposta:
Ho già risposto qui.
Spiegazione:
Devi prima trovare # Sin18 ^ @ #, per i quali i dettagli sono disponibili qui.
Quindi puoi ottenere # Cos36 ^ @ # come mostrato qui.
Risposta:
Risolviamo #cos (2 theta) = cos (3 theta) # o # 2x ^ 2-1 = 4x ^ 3-3x # per # x = cos 144 ^ circ # e prendi #cos 36 ^ circ = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}). #
Spiegazione:
Noi abbiamo #cos 36 ^ circ # leggermente indirettamente dalla formula dell'angolo doppio e triplo per il coseno. È bello come è fatto, e ha un finale a sorpresa.
Ci concentreremo su #cos 72 ^ circ #. L'angolo # Theta = 72 ^ circ # soddisfa
#cos (2 theta) = cos (3 theta). #
Risolviamolo per # # Theta, ricordando #cos x = cos a # ha soluzioni #x = pm a + 360 ^ circ k. #
# 2 theta = pm 3 theta + 360 ^ circ k #
# 5 theta = 360 ^ circ k # o # -theta = 360 ^ circ k #
#theta = 72 ^ circ k #
Questo include il # 360 ^ circ k # così possiamo lasciare la parte "o".
Non sto scrivendo un mistero qui (nonostante il finale a sorpresa) quindi ne parlerò #cos (2 (72 ^ circ)) = cos (144 ^ circ) = - cos (36 ^ circ) # è anche una soluzione valida e vediamo come è correlata alla domanda.
#cos (2 theta) = cos (3 theta) #
# 2 cos ^ 2 theta -1 = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #
Adesso molla # x = cos theta #
# 2 x ^ 2 -1 = 4 x ^ 3 - 3x #
# 4 x ^ 3 - 2x ^ 2 - 3x +1 = 0 #
Sappiamo # x = cos (0 volte 72 ^ circ) = 1 # è una soluzione così # (X-1) # è un fattore:
# (x - 1) (4 x ^ 2 + 2x - 1) = 0 #
Il quadratico ha radici
#x = 1/4 (-1 pm sqrt {5}) #
Quello positivo deve essere #cos 72 ^ circ # e quello negativo #cos 144 ^ circ #.
#cos 144 ^ circ = 1/4 (-1 - sqrt {5}) #
#cos 36 ^ circ = cos (180 ^ circ - 144 ^ circ) = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}) #
Questa è la risposta. La sorpresa è che è metà del Golden Ratio!
