Due angoli di un triangolo isoscele sono in (7, 5) e (3, 6). Se l'area del triangolo è 6, quali sono le lunghezze dei lati del triangolo?

Risposta:

Ci sono un paio di modi per farlo; Di seguito viene spiegato il modo con il minor numero di passaggi.

La domanda è ambigua su quali due lati hanno la stessa lunghezza. In questa spiegazione, assumeremo che i due lati di uguale lunghezza siano quelli ancora da trovare.

Spiegazione:

Un lato della lunghezza che possiamo capire solo dalle coordinate che ci sono state date.

# A = sqrt ((7-3) ^ 2 + (5-6) ^ 2) #

# A = sqrt (4 ^ 2 + (- 1) ^ 2) #

# A = sqrt (16 + 1) #

# = Un sqrt17 #

Quindi possiamo usare la formula per l'area di un triangolo in termini di lunghezze laterali da capire # B # e # C #.

# A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

dove # s = (a + b + c) / 2 # (chiamato il semiperimeter)

Da # A = sqrt (17) # è noto e supponiamo # B = C #, noi abbiamo

# s = (sqrt17 + b + b) / 2 #

#color (rosso) (s = sqrt17 / 2 + b) #

Sostituendo questo nella formula dell'area sopra, così come # A = 6 # e # = Un sqrt17 #, noi abbiamo

# 6 = sqrt ((colore (rosso) (sqrt (17) / 2 + b)) (colore (rosso) (sqrt (17) / 2 + b) -sqrt17) (colore (rosso) (sqrt (17) / 2 + b) -b) (colore (rosso) (sqrt (17) / 2 + b) -b)) #

# 6 = sqrt ((sqrt (17) / 2 + b) (- sqrt (17) / 2 + b) (sqrt (17) / 2) (sqrt (17) / 2)) #

# 6 = (sqrt (17) / 2) sqrt ((b + sqrt (17) / 2) (b-sqrt (17) / 2)) #

# 12 / sqrt17 = sqrt (b ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2) #

N. 144/17 = b ^ 2-17 / 4 #

# 144/17 + 17/4 = b ^ 2 #

# 576/68 + 289/68 = b ^ 2 #

# 865/68 = b ^ 2 #

# B = sqrt (865/68) = c #

La nostra soluzione è # a = sqrt (17), b = c = sqrt (865/68) #.

Nota 1:

È possibile avere un triangolo con due lati di lunghezza #sqrt (17) # e area # A = 6 # (cioè, avere # A = b = sqrt (17) # invece di # B = C #). Ciò porterà a una soluzione diversa.

Nota 2:

Potremmo anche aver risolto questa domanda trovando le coordinate del terzo punto. Ciò avrebbe comportato:

a) trovare la lunghezza del lato conosciuto #un#

b) trovare la pendenza # M # tra i due punti dati

c) trovare il punto medio # (X_1, y_1) # tra i due punti dati

d) trovare l'altezza # H # di questo triangolo usando # A = 1/2 ah #

e) trovare la pendenza dell'altezza usando #m_h = (- 1) / m #

f) utilizzando sia la formula del punto di inclinazione # M_h = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) # e la formula dell'altezza # h = sqrt ((y_2-y_1) ^ 2 + (x_2-x_1) ^ 2) # risolvere per una delle coordinate del terzo punto # (X_2, y_2) #

g) dopo aver combinato queste due equazioni, semplificando le rese

# X_2 = h / (sqrt (m_h ^ 2 + 1)) + x_1 #

h) inserendo i valori noti per # H #, # # M_h, e # # X_1 ottenere # # X_2

i) usando una delle due equazioni in (f) per trovare # # Y_2

j) utilizzando la formula della distanza per trovare le lunghezze laterali (identiche) rimanenti

# b = c = sqrt ((x_2-3) ^ 2 + (y_2-6) ^ 2) = sqrt ((x_2-7) ^ 2 + (y_2-5) ^ 2) #

Puoi capire perché il primo metodo è più facile.