Come si trovano i valori assoluti massimo e assoluto di f sull'intervallo dato: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) su [-1, 5]?

Come si trovano i valori assoluti massimo e assoluto di f sull'intervallo dato: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) su [-1, 5]?
Anonim

Risposta:

Reqd. i valori estremi sono -25 / 2 e 25/2 .

Spiegazione:

Usiamo la sostituzione t = 5sinx, t in -1,5 .

Osserva che questa sostituzione è consentita, perché, t in -1,5 rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5

rArr -1/5 <= sinx <= 1 , che vale, come gamma di peccato divertimento. è -1,1.

Adesso, f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sinx * sqrt (25-25sin ^ 2x)

= 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x

Da, -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2

rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2

Pertanto, reqd. le estremità sono -25 / 2 e 25/2 .

Risposta:

Trova la monotonia della funzione dal segno della derivata e decidi quali massimi / minimi locali sono i più grandi, i più piccoli.

Il massimo assoluto è:

f (3.536) = 12.5

Il minimo assoluto è:

f (-1) = - 4.899

Spiegazione:

f (t) = tsqrt (25-t ^ 2)

La derivata della funzione:

f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (25-t ^ 2)'

f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (- 2t)

f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2)

f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2)

f '(t) = (25-t ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2)

f '(t) = (25-2t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2)

f '(t) = 2 (12,5 t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2)

f '(t) = 2 (sqrt (12,5) ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2)

f '(t) = 2 ((sqrt (12,5) -t) (sqrt (12,5) + t)) / sqrt (25-t ^ 2)

  • Il numeratore ha due soluzioni:

    T_1 = sqrt (12,5) = 3.536

    T_2 = -sqrt (12,5) = - 3.536

    Pertanto, il numeratore è:

    Negativo per t in (-oo, -3.536) uu (3.536, + oo)

    Positivo per t in (-3.536,3.536)

  • Il denominatore è sempre positivo in RR , poiché è una radice quadrata.

    Infine, l'intervallo indicato è -1,5

Pertanto, la derivata della funzione è:

- Negativo per t in -1,3.536)

- Positivo per t in (3.536,5)

Ciò significa che il grafico salirà da f (-1) a f (3.536) e poi scende a f (5) . Questo fa f (3.536) il massimo assoluto e il più grande valore di f (-1) e f (5) è il minimo assoluto.

Il massimo assoluto è f (3.536) :

f (3.536) = 3.536sqrt (25-3,536 ^ 2) = 12.5

Per il massimo assoluto:

f (-1) = - 1sqrt (25 - (- 1) ^ 2) = - 4.899

f (5) = 5sqrt (25-5 ^ 2) = 0

Perciò, f (-1) = - 4.899 è il minimo assoluto.

Puoi vedere dal grafico sottostante che questo è vero. Ignora solo l'area rimasta di -1 dal momento che è fuori dal dominio:

graph {xsqrt (25-x ^ 2) -14.4, 21.63, -5.14, 12.87}