Come si trovano i valori assoluti massimo e assoluto di f sull'intervallo dato: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) su [-1, 5]?

Risposta:

Reqd. i valori estremi sono # -25 / 2 e 25/2 #.

Spiegazione:

Usiamo la sostituzione # t = 5sinx, t in -1,5 #.

Osserva che questa sostituzione è consentita, perché, # t in -1,5 rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 #

#rArr -1/5 <= sinx <= 1 #, che vale, come gamma di #peccato# divertimento. è #-1,1#.

Adesso, #f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sinx * sqrt (25-25sin ^ 2x) #

# = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x #

Da, # -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2 #

#rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2 #

Pertanto, reqd. le estremità sono # -25 / 2 e 25/2 #.

Risposta:

Trova la monotonia della funzione dal segno della derivata e decidi quali massimi / minimi locali sono i più grandi, i più piccoli.

Il massimo assoluto è:

#f (3.536) = 12.5 #

Il minimo assoluto è:

#f (-1) = - 4.899 #

Spiegazione:

#f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) #

La derivata della funzione:

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (25-t ^ 2)' #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (- 2t) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-t ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-2t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (12,5 t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (sqrt (12,5) ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 ((sqrt (12,5) -t) (sqrt (12,5) + t)) / sqrt (25-t ^ 2) #

• Il numeratore ha due soluzioni:

  # T_1 = sqrt (12,5) = 3.536 #

  # T_2 = -sqrt (12,5) = - 3.536 #

  Pertanto, il numeratore è:

  Negativo per #t in (-oo, -3.536) uu (3.536, + oo) #

  Positivo per #t in (-3.536,3.536) #

• Il denominatore è sempre positivo in # RR #, poiché è una radice quadrata.

  Infine, l'intervallo indicato è #-1,5#

Pertanto, la derivata della funzione è:

- Negativo per #t in -1,3.536) #

- Positivo per #t in (3.536,5) #

Ciò significa che il grafico salirà da #f (-1) # a #f (3.536) # e poi scende a #f (5) #. Questo fa #f (3.536) # il massimo assoluto e il più grande valore di #f (-1) # e #f (5) # è il minimo assoluto.

Il massimo assoluto è #f (3.536) #:

#f (3.536) = 3.536sqrt (25-3,536 ^ 2) = 12.5 #

Per il massimo assoluto:

#f (-1) = - 1sqrt (25 - (- 1) ^ 2) = - 4.899 #

#f (5) = 5sqrt (25-5 ^ 2) = 0 #

Perciò, #f (-1) = - 4.899 # è il minimo assoluto.

Puoi vedere dal grafico sottostante che questo è vero. Ignora solo l'area rimasta di #-1# dal momento che è fuori dal dominio:

graph {xsqrt (25-x ^ 2) -14.4, 21.63, -5.14, 12.87}