Come risolvere con l'integrazione?

Risposta:

# Q = (15 / 2,0) #

# P = (3,9) #

# "Area" = 117/4 #

Spiegazione:

Q è l'intercetta x della linea # 2x + y = 15 #

Per trovare questo punto, lascia # Y = 0 #

# 2x = 15 #

# X = 15 secondi #

Così # Q = (15 / 2,0) #

P è un punto di intercettazione tra la curva e la linea.

# y = x ^ 2 "" (1) #

# 2x + y = 15 "" (2) #

Sub #(1)# in #(2)#

# 2x + x ^ 2 = 15 #

# X ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (X + 5) (x-3) = 0 #

# x = -5 # o # X = 3 #

Dal grafico, la coordinata x di P è positiva, quindi possiamo rifiutare # x = -5 #

# X = 3 #

# Y = x ^ 2 #

#=3^2#

#=9#

#:. P = (3,9) #

grafico {(2x + y-15) (x ^ 2-y) = 0 -17.06, 18.99, -1.69, 16.33}

Ora per l'area

Per trovare l'area totale di questa regione, possiamo trovare due aree e aggiungerle insieme.

Questi saranno l'area sotto # Y = x ^ 2 # da 0 a 3 e l'area sotto la linea da 3 a 15/2.

# "Area sotto curva" = int_0 ^ 3 x ^ 2dx #

# = 1 / 3x ^ 3 _0 ^ 3 #

# = 1 / 3xx3 ^ 3-0 #

#=9#

Possiamo elaborare l'area della linea attraverso l'integrazione, ma è più facile trattarla come un triangolo.

# "Area in linea" = 1 / 2xx9xx (15 / 2-3) #

# = 1 / 2xx9xx9 / 2 #

#=81/4#

#:. "area totale della regione ombreggiata" = 81/4 + 9 #

#=117/4#

Risposta:

Per 3 e 4

Tom ha fatto 10

Spiegazione:

3

# int_0 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 1 + int_1 ^ 5) f (x) dx #

#:. int_1 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 5 - int_0 ^ 1) f (x) dx #

#= 1- (-2) = 3#

4

#int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx = (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#:. int_ (3) ^ (- 2) f (x) dx = -int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx #

# = - (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#= - (2 - 6) = 4#

Risposta:

Vedi sotto:

Avvertenza: risposta lunga!

Spiegazione:

Per (3):

Utilizzando la proprietà:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

Quindi:

# int_0 ^ 5 f (x) dx = int_0 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 5 f (x) dx #

# 1 = -2 + x #

# x = 3 = int_1 ^ 5 f (x) dx #

Per (4):

(stessa cosa)

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# int_-2 ^ 3 f (x) dx = int_-2 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 3 f (x) dx #

# X = 2 + (- 6) #

# x = -4 = int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Tuttavia, dobbiamo scambiare i limiti sull'integrale, quindi:

# int_3 ^ -2 f (x) dx = -int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Così:# int_3 ^ -2 f (x) dx = - (- 4) = 4 #

Per 10 (a):

Abbiamo due funzioni che si intersecano a # P #così a # P #:

# X ^ 2 = -2x + 15 #

(Ho trasformato la funzione linea in forma di intercetta di pendenza)

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (X + 5) (x-3) = 0 #

Così # X = 3 # come noi alla destra del # Y # asse, così #x> 0 #.

(inserendo # X = 3 # in una qualsiasi delle funzioni)

# Y = -2x + 15 #

# Y = -2 (3) + 15 #

# Y = 15-6 = 9 #

Quindi le coordinate di # P # è #(3,9)#

Per # # Q, la linea # Y = -2x + 15 # taglia il # Y #-assimo, quindi # Y = 0 #

# 0 = -2x + 15 #

# 2x = 15 #

# X = (15/2) = 7.5 #

Così # # Q si trova a #(7.5, 0)#

Per 10 (b).

Costruirò due integrali per trovare l'area. Risolverò gli integrali separatamente.

L'area è:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

(Risolvi il primo integrale)

# int_O ^ P (x ^ 2) dx = int_0 ^ 3 (x ^ 2) dx = x ^ 3/3 #

(sostituisci i limiti nell'espressione integrata, ricorda:

Limite superiore-inferiore per trovare il valore di integrale)

# 3 ^ 3/3 -0 = 9 = int_O ^ P (x ^ 2) dx #

(risolvi secondo integrale)

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = int_3 ^ 7.5 (-2x + 15) dx = (- 2x ^ 2) / 2 + 15x = - x ^ 2 + 15x #

(limiti di sostituzione: superiore-inferiore)

#-(15/2)^2+15(15/2)--3^2+15(3)#

#(-225/4)+(225/2)+9-45=(-225/4)+(450/4)+-36= (225/4)+(-144/4)=(81/4)#

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = (81/4) #

# int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = (36/4) + (81/4) #

# A = (117/4) #