Come si moltiplica (2-3i) (- 3-7i) in forma trigonometrica?

Prima di tutto dobbiamo convertire questi due numeri in forme trigonometriche.

Se # (A + ib) # è un numero complesso, # U # è la sua grandezza e #alfa# è il suo angolo allora # (A + ib) # nella forma trigonometrica è scritto come #U (cosalpha + isinalpha) #.

Magnitudine di un numero complesso # (A + ib) # è dato da#sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # e il suo angolo è dato da # Tan ^ -1 (b / a) #

Permettere # R # essere la grandezza di # (2-3i) # e # # Theta essere il suo angolo

Magnitudine di # (2-3i) = sqrt (2 ^ 2 + (- 3) ^ 2) = sqrt (4 + 9) = sqrt13 = r #

Angolo di # (2-3i) = tan ^ -1 (-3/2) = theta #

#implies (2-3i) = r (Costheta + isintheta) #

Permettere #S# essere la grandezza di # (- 3-7i) # e # # Phi essere il suo angolo

Magnitudine di # (- 3-7i) = sqrt ((- 3) ^ 2 + (- 7) ^ 2) = sqrt (9 + 49) = sqrt58 = s #

Angolo di # (- 3-7i) = tan ^ -1 ((- 7) / - 3) = tan ^ -1 (7/3) = phi #

#implies (-3-7i) = s (Cosphi + isinphi) #

Adesso,

# (2-3i) (- 3-7i) #

# = R (Costheta + isintheta) * s (Cosphi + isinphi) #

# = Rs (costhetacosphi + isinthetacosphi + icosthetasinphi + i ^ 2sinthetasinphi) #

# = Rs (costhetacosphi-sinthetasinphi) + i (+ sinthetacosphi costhetasinphi) #

# = Rs (cos (theta + phi) + ISIN (theta + phi)) #

Qui abbiamo ogni cosa presente ma se qui sostituiamo direttamente i valori la parola sarebbe disordinata per trovare #theta + phi # quindi cerchiamo prima di scoprirlo # Theta + phi #.

# Theta + phi = tan ^ -1 (-3/2) + tan ^ -1 (7/3) #

Lo sappiamo:

# Tan ^ -1 (a) + tan ^ -1 (b) = tan ^ -1 ((a + b) / (1-ab)) #

#implies tan ^ -1 (-3/2) + tan ^ -1 (7/3) = tan ^ -1 (((- 3/2) + (7/3)) / (1 - (- 3 / 2) (7/3))) #

# = Tan ^ -1 ((- 9 + 14) / (6 + 21)) = tan ^ -1 ((5) / (27)) #

#implies theta + phi = tan ^ -1 ((5) / (27)) #

#rs (cos (theta + phi) + ISIN (theta + phi)) #

# = sqrt13sqrt58 (cos (tan ^ -1 (5/27)) + isin (tan ^ -1 (5/27))) #

# = sqrt754 (cos (tan ^ -1 (5/27)) + isin (tan ^ -1 (5/27))) #

Questa è la tua risposta finale.

Puoi farlo anche con un altro metodo.

Prima moltiplicando i numeri complessi e poi cambiandoli in forma trigonometrica, che è molto più facile di questo.

# (2-3i) (- 3-7i) = - 6-14i + 9i + 21i ^ 2 = -6-5i-21 = -27-5i #

Adesso cambia # # -27-5i in forma trigonometrica.

Magnitudine di # -27-5i = sqrt ((- 27) ^ 2 + (- 5) ^ 2) = sqrt (729 + 25) = sqrt754 #

Angolo di # -27-5i = tan ^ -1 (-5 / -27) = tan ^ -1 (5/27) #

#implies -27-5i = sqrt754 (cos (tan ^ -1 (5/27)) + isin (tan ^ -1 (5/27))) #