Come si moltiplica (4 + 6i) (3 + 7i) in forma trigonometrica?

Prima di tutto dobbiamo convertire questi due numeri in forme trigonometriche.

Se # (A + ib) # è un numero complesso, # U # è la sua grandezza e #alfa# è il suo angolo allora # (A + ib) # nella forma trigonometrica è scritto come #U (cosalpha + isinalpha) #.

Magnitudine di un numero complesso # (A + ib) # è dato da#sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # e il suo angolo è dato da # Tan ^ -1 (b / a) #

Permettere # R # essere la grandezza di # (4 + 6i) # e # # Theta essere il suo angolo

Magnitudine di # (4 + 6i) = sqrt (4 ^ 2 + 6 ^ 2) = sqrt (16 + 36) = sqrt52 = 2sqrt13 = r #

Angolo di # (4 + 6i) = tan ^ -1 (6/4) = tan ^ -1 (3/2) = theta #

#implies (4 + 6i) = r (Costheta + isintheta) #

Permettere #S# essere la grandezza di # (3 + 7i) # e # # Phi essere il suo angolo

Magnitudine di # (3 + 7i) = sqrt (3 ^ 2 + 7 ^ 2) = sqrt (9 + 49) = sqrt58 = s #

Angolo di # (3 + 7i) = tan ^ -1 (7/3) = phi #

#implies (3 + 7i) = s (Cosphi + isinphi) #

Adesso,

# (4 + 6i) (3 + 7i) #

# = R (Costheta + isintheta) * s (Cosphi + isinphi) #

# = Rs (costhetacosphi + isinthetacosphi + icosthetasinphi + i ^ 2sinthetasinphi) #

# = Rs (costhetacosphi-sinthetasinphi) + i (+ sinthetacosphi costhetasinphi) #

# = Rs (cos (theta + phi) + ISIN (theta + phi)) #

Qui abbiamo ogni cosa presente ma se qui sostituiamo direttamente i valori la parola sarebbe disordinata per trovare #theta + phi # quindi cerchiamo prima di scoprirlo # Theta + phi #.

# Theta + phi = tan ^ -1 (3/2) + tan ^ -1 (7/3) #

Lo sappiamo:

# Tan ^ -1 (a) + tan ^ -1 (b) = tan ^ -1 ((a + b) / (1-ab)) #

#implies tan ^ -1 (3/2) + tan ^ -1 (7/3) = tan ^ -1 (((3/2) + (7/3)) / (1- (3/2) (7/3))) = tan ^ -1 ((9 + 14) / (6-21)) #

# = Tan ^ -1 ((23) / (- 15)) = tan ^ -1 (-23/15) #

#implies theta + phi = tan ^ -1 (-23/15) #

#rs (cos (theta + phi) + ISIN (theta + phi)) #

# = 2sqrt13sqrt58 (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/15))) #

# = 2sqrt (754) (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/15))) #

Questa è la tua risposta finale.

Puoi farlo anche con un altro metodo.

Prima moltiplicando i numeri complessi e poi cambiandoli in forma trigonometrica, che è molto più facile di questo.

# (4 + 6i) (3 + 7i) = 12 + 28i + + 18i 42i ^ 2 = 12 + 42 = 46i-46i -30 + #

Adesso cambia # -30 + 46i # in forma trigonometrica.

Magnitudine di # -30 + 46i = sqrt ((- 30) ^ 2 + (46) ^ 2) = sqrt (900 + 2116) = = sqrt3016 2sqrt754 #

Angolo di # -30 + 46i = tan ^ -1 (46 / -30) = tan ^ -1 (-23/15) #

#implies -30 + 46i = 2sqrt754 (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/15))) #