Qual è il perimetro di un ottagono regolare con un raggio di lunghezza 20?

Risposta:

Dipende:

Se il raggio interno è #20#, quindi il perimetro è:

# 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132.55 #

Se il raggio esterno è #20#, quindi il perimetro è:

# 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~~ 122.46 #

Spiegazione:

Qui il cerchio rosso circoscrive il raggio esterno e il cerchio verde quello interno.

Permettere # R # essere il raggio esterno - questo è il raggio del cerchio rosso.

Quindi i vertici dell'ottagono centrati a #(0, 0)# sono a:

# (+ - r, 0) #, # (0, + -r) #, # (+ - r / sqrt (2), + -r / sqrt (2)) #

La lunghezza di un lato è la distanza tra # (r, 0) # e # (r / sqrt (2), r / sqrt (2)) #:

#sqrt ((r-R / sqrt (2)) ^ 2 + (r / sqrt (2)) ^ 2) #

# = r sqrt ((1-1 / sqrt (2)) ^ 2 + 1/2) #

# = r sqrt (1-2 / sqrt (2) + 1/2 + 1/2) #

# = r sqrt (2-sqrt (2)) #

Quindi il perimetro totale è:

#color (rosso) (8r sqrt (2-sqrt (2))) #

Quindi se il raggio esterno è #20#, quindi il perimetro è:

# 8 * 20 sqrt (2-sqrt (2)) = 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~~ 122.46 #

#colore bianco)()#

Il raggio interno sarà # r_1 = r cos (pi / 8) = r / 2 (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Così #r = (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Quindi il perimetro totale è

# 8r sqrt (2-sqrt (2)) = 8 (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) sqrt (2-sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2-sqrt (2)) / sqrt (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2-sqrt (2)) sqrt (2 + sqrt (2))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt ((2-sqrt (2)) (2 + sqrt (2)))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2) (2-sqrt (2))) / ((2 + sqrt (2)) (2-sqrt (2))) #

# = 8r_1 (2sqrt (2) -2) #

# = Colore (verde) (16r_1 (sqrt (2) -1)) #

Quindi se il raggio interno è #20#, quindi il perimetro è:

# 16 * 20 (sqrt (2) - 1) = 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132.55 #

#colore bianco)()#

Quanto è buona l'approssimazione per #pi# questo ci dà?

Mentre siamo qui, che approssimazione per #pi# otteniamo la media dei raggi interno ed esterno?

#pi ~~ 2 (2 (sqrt (2) - 1) + sqrt (2-sqrt (2))) ~~ 3.1876 #

… quindi non eccezionale.

Per ottenere una buona approssimazione come #355/113 ~~ 3.1415929#, il matematico cinese Zu Chongzhi ha usato un #24576# (# = 2 ^ 13 xx 3 #) poligono e aste di conteggio laterali.

en.wikipedia.org/wiki/Zu_Chongzhi