Come trovi il volume della piramide delimitato dall'aereo 2x + 3y + z = 6 e il piano delle coordinate?

Come trovi il volume della piramide delimitato dall'aereo 2x + 3y + z = 6 e il piano delle coordinate?
Anonim

Risposta:

= 6 unità cubiche

Spiegazione:

il vettore normale è ((2),(3),(1)) che indica nella direzione dell'ottante 1, quindi il volume in questione si trova sotto il piano e nell'ottante 1

possiamo riscrivere l'aereo come z (x, y) = 6 - 2x - 3y

per z = 0 noi abbiamo

  • z = 0, x = 0 implica y = 2
  • z = 0, y = 0 implica x = 3

e

- - x = 0, y = 0 implica z = 6

è questo:

il volume di cui abbiamo bisogno è

int_A z (x, y) dA

= int_ (x = 0) ^ (3) int_ (y = 0) ^ (2 - 2/3 x) 6 - 2x - 3y dy dx

= int_ (x = 0) ^ (3) 6y - 2xy - 3 / 2y ^ 2 _ (y = 0) ^ (2 - 2/3 x) dx

= int_ (x = 0) ^ (3) 6 (2-2 / 3 x) - 2x (2-2 / 3 x) - 3/2 (2-2 / 3 x) ^ 2 _ (y = 0) ^ (2 - 2/3 x) dx

= int_ (x = 0) ^ (3) 12-4 x - 4x + 4/3 x ^ 2 - 6 - 2/3 x ^ 2 + 4x dx

= int_ (x = 0) ^ (3) 6- 4 x + 2/3 x ^ 2 dx

= 6x- 2 x ^ 2 + 2/9 x ^ 3 _ (x = 0) ^ (3)

= 18- 18 + 54/9

= 6

Risposta:

6

Spiegazione:

Stiamo per eseguire un triplo integrale.

Il sistema di coordinate cartesiane è il più applicabile. L'ordine di integrazione non è critico. Andremo z prima, y centrale, x ultima.

underline ("Determinazione dei limiti")

Sull'aereo z = 6 - 2x - 3y e sul piano di coordinate z = 0 quindi

z: 0 rarr 6 - 2x - 3y

Lungo Z = 0 , Y va da 0 a 3y = 6 - 2x quindi

y: 0 rarr 2 - 2 / 3x

Lungo y = 0, z = 0 quindi

x: 0 rarr 3

Stiamo trovando il volume così f (x, y, z) = 1 . Diventa integrale

Int_0 ^ 3int_0 ^ (2-2 / 3x) int_0 ^ (6-2x-3 anni) dzdydx

= Int_0 ^ 3int_0 ^ (2-2 / 3x) z _0 ^ (6-2x-3 anni) dydx

= Int_0 ^ 3int_0 ^ (2-2 / 3x) (6-2x-3 anni) dydx

= int_0 ^ 3 6y-2xy - 3 / 2y ^ 2 _0 ^ (2-2 / 3x) dx

= int_0 ^ 3 (6 (2-2 / 3x) - 2x (2-2 / 3x) - 3/2 (2-2 / 3x) ^ 2) dx

= int_0 ^ 3 (12 - 4x - 4x + 4 / 3x ^ 2 - 3/2 (4 - 8 / 3x + 4 / 9x ^ 2)) dx

= int_0 ^ 3 (12 - 8x + 4 / 3x ^ 3 - 6 + 4x - 2 / 3x ^ 2) dx

= int_0 ^ 3 (6 - 4x + 2 / 3x ^ 2) dx

= 6x - 2x ^ 2 + 2 / 9x ^ 3 _0 ^ 3

=6(3) - 2(3)^2 +2/9(3)^3

=6