Domanda n. E8ab5

Risposta:

#cos (x + y) = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #

Spiegazione:

In primo luogo, ricorda cosa #cos (x + y) # è:

#cos (x + y) = cosxcosy + sinxsiny #

Nota che:

# (Sinx + siny) ^ 2 = a ^ 2 #

# -> sin ^ 2x + 2sinxsiny + sin ^ 2y = a ^ 2 #

E:

# (Cosx + accogliente) ^ 2 = b ^ 2 #

# -> cos ^ 2x + 2cosxcosy + cos ^ 2y = b ^ 2 #

Ora abbiamo queste due equazioni:

# Sin ^ 2x + 2sinxsiny + sin ^ 2y = a ^ 2 #

# cos ^ 2x + 2cosxcosy + cos ^ 2y = b ^ 2 #

Se li aggiungiamo insieme, abbiamo:

# Sin ^ 2x + 2sinxsiny + sin ^ 2y + cos ^ 2x + 2cosxcosy + cos ^ 2y = a ^ 2 + b ^ 2 #

Non lasciare che le dimensioni di questa equazione ti buttino fuori. Cerca identità e semplificazioni:

# (Sin ^ 2x + cos ^ 2x) + (2sinxsiny + 2cosxcosy) + (cos ^ 2y + sin ^ 2y) = a ^ 2 + b ^ 2 #

Da # Sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 # (Identità pitagorica) e # Cos ^ 2y + sin ^ 2y = 1 # (Identità pitagorica), possiamo semplificare l'equazione per:

# 1 + (2sinxsiny + 2cosxcosy) + 1 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# -> (+ 2sinxsiny 2cosxcosy) + 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

Possiamo calcolare a #2# due volte:

# 2 (+ cosxcosy sinxsiny) + 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# -> 2 ((+ sinxsiny cosxcosy) +1) = a ^ 2 + b ^ 2 #

E dividi:

# (Sinxsiny + cosxcosy) + 1 = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2 #

E sottrarre:

# Sinxsiny + cosxcosy = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #

Finalmente, da #cos (x + y) = cosxcosy + sinxsiny #, noi abbiamo:

#cos (x + y) = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #

Dato

# Sinx + siny = a ……. (1) #

# Cosx + accogliente = b ……. (2) #

Squadrando e aggiungendo (1) e (2)

# (cosx + cozy) ^ 2 + (sinx + siny) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2 (cosxcosy + sinxsiny) + 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2cos (x-y) = a ^ 2 + b ^ 2-2 …. (3) #

Squadratura e sottrazione (1) da (2)

# (cosx + cozy) ^ 2- (sinx + siny) ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + cos ^ 2x-sin ^ 2x + cos ^ 2y-sin ^ 2y = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + cos2x + cos2y = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + 2cos (x + y) cos (x-y) = b ^ 2-a ^ 2 #

# => Cos (x + y) (2 + 2cos (x-y)) = b ^ 2-a ^ 2 #

(# "Da (3)" 2cos (x-y) = a ^ 2 + b ^ 2-2 #)

# => Cos (x + y) (2 + b ^ 2 + a ^ 2-2) = b ^ 2-a ^ 2 #

# => Cos (x + y) (b ^ 2 + a ^ 2) = b ^ 2-a ^ 2 #

# => Cos (x + y) = (b ^ 2-a ^ 2) / (b ^ 2 + a ^ 2) #

Risposta:

#cos (x + y) = (b ^ 2-a ^ 2) / (b ^ 2 + a ^ 2) #.

Spiegazione:

# sinx + siny = a rArr 2sin ((x + y) / 2) cos ((x-y) / 2) = a ……… (1) #.

# cosx + cozy = b rArr 2cos ((x + y) / 2) cos ((x-y) / 2) = b ………. (2) #.

dividendo #(1)# di #(2)#, noi abbiamo, #tan ((x + y) / 2) = a / b #.

Adesso, #cos (x + y) = {1-tan ^ 2 ((x + y) / 2)} / {1 + tan ^ 2 ((x + y) / 2)} #

# = (1-a ^ 2 / b ^ 2) / (1 + a ^ 2 / b ^ 2) = (b ^ 2-a ^ 2) / (b ^ 2 + a ^ 2) #.

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