C'è qualche punto (x, y) sulla curva y = x ^ (x (1 + 1 / y)), x> 0, in cui la tangente è parallela all'asse x?

Risposta:

Non c'è un tale punto, per quanto riguarda la mia matematica.

Spiegazione:

Innanzitutto, consideriamo le condizioni della tangente se è parallela al #X#-asse. Dal momento che il #X#-un asse è orizzontale, qualsiasi linea parallela ad essa deve essere anche orizzontale; quindi segue che la linea tangente è orizzontale. E, naturalmente, le tangenti orizzontali si verificano quando la derivata è uguale #0#.

Pertanto, per prima cosa dobbiamo iniziare trovando la derivata di questa equazione mostruosa, che può essere realizzata attraverso la differenziazione implicita:

# Y = x ^ (x + x / y) #

# -> LNY = (x + x / y) lnx #

Usando la regola della somma, la regola della catena, la regola del prodotto, la regola del quoziente e l'algebra, abbiamo:

# D / dx (LNY) = d / dx ((x + x / y) lnx) #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(LNX) + (x + x / y) (LNX)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(LNX) + (x + x / y) (LNX)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (1+ (x'y-XDY / dx) / y ^ 2) (LNX) + (x + x / y) (1 / x) #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + lnx ((y-XDY / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + lnx (1 / y- (XDY / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + (lnx) / y- (xlnxdy / dx) / y ^ 2 + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y + (xlnxdy / dx) / y ^ 2 = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx (1 / y + (XLNX) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + XLNX) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + XLNX) / y ^ 2) = (+ ylnx lnx + 1 + y) / y #

# -> dy / dx = ((+ ylnx lnx + 1 + y) / y) / ((y + XLNX) / y ^ 2) #

# -> dy / dx = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (y + XLNX) #

Wow … è stato intenso. Ora impostiamo la derivata uguale a #0# e vedi cosa succede

# 0 = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (y + XLNX) #

# 0 = ylnx + lnx + 1 + y #

# -Ylnx-y = lnx + 1 #

# -Y (lnx + 1) = lnx + 1 #

#y (lnx + 1) = - (lnx + 1) #

#y = (- (lnx + 1)) / (lnx + 1) #

# Y = -1 #

Interessante. Ora colleghiamo # Y = -1 # e vediamo cosa otteniamo #X#:

# Y = x ^ (x (1 + 1 / a)) #

# -1 = x ^ (x (1 + 1 / -1)) #

# -1 = x ^ (x (1-1)) #

# -1 = x ^ 0 #

#-1=1#

Poiché questa è una contraddizione, concludiamo che non ci sono punti che soddisfano questa condizione.

Risposta:

Non esiste una tale tangente.

Spiegazione:

#y = x ^ (x (1 + 1 / y)) equiv y ^ {y / (y + 1)} = x ^ x #. Ora chiama #f (x, y) = x ^ x-y ^ {y / (y + 1)} = u (x) + v (y) = 0 # noi abbiamo

#df = f_x dx + f_y dy = (parziale u) / (parziale x) dx + (parziale v) / (parziale y) dy = 0 # poi

# dy / dx = - ((u parziale) / (x parziale)) ((parziale v) / (parziale y)) = (x ^ x (1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (y ^ (y / (1 + y)) (1 + y + Log_e (y))) = ((1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (1 + y + Log_e (y)) #

Lo vediamo # dy / (dx) = 0 -> {y_0 = -1, x_0 = e ^ {- 1}} # ma quei valori devono verificare:

#f (x, y_0) = 0 # e

#f (x_0, y) = 0 #

Nel primo caso, # y_0 = 1 # noi abbiamo

# x ^ x = -1 # che non è raggiungibile nel dominio reale.

Nel secondo caso, # x_0 = e ^ {- 1} # noi abbiamo

# y ^ {y / (y + 1)} = e ^ {- 1} # o

# y / (y + 1) log_e y = -1 #

ma

# y / (y + 1) log_e y> -1 # quindi nessuna vera soluzione anche.

Concludendo, non c'è una tale tangente.

Risposta:

La risposta di Dr, Cawa K, x = 1 / e, è precisa.

Spiegazione:

Ho proposto questa domanda per ottenere questo valore con precisione. Grazie a

Dr, Cawas per una risposta decisiva che approva la rivelazione

la doppia precisione y 'rimane 0 attorno a questo intervallo. y è

continuo e differenziabile a x = 1 / e. Come entrambi i 17-sd doppio

la precisione y e y 'sono 0, in questo intervallo intorno a x = 1 / e, era a

congettura che l'asse x tocchi il grafico in mezzo. E ora lo è

dimostrato. Penso che il tocco sia trascendentale..