Qual è la molteplicità della radice reale di un'equazione che attraversa / tocca l'asse x una volta?

Risposta:

Alcune osservazioni …

Spiegazione:

Nota che #f (x) = x ^ 3 # ha le proprietà:

#f (x) # è di laurea #3#
L'unico valore reale di #X# per cui #f (x) = 0 # è # X = 0 #

Queste due proprietà da sole non sono sufficienti per determinare che lo zero a # X = 0 # è di molteplicità #3#.

Ad esempio, considera:

#g (x) = x ^ 3 + x = x (x ^ 2 + 1) #

Nota che:

#G (x) # è di laurea #3#
L'unico valore reale di #X# per cui #g (x) = 0 # è # X = 0 #

Ma la molteplicità dello zero di #G (x) # a # X = 0 # è #1#.

Alcune cose che possiamo dire:

Un polinomio di grado #n> 0 # ha esattamente # N # zeri complessi (possibilmente reali) che contano molteplicità. Questa è una conseguenza del Teorema Fondamentale dell'Algebra.
#f (x) = 0 # solo quando # X = 0 #, tuttavia è di grado #3#, così ha fatto #3# zeri che contano la molteplicità.
Quindi quello zero a # X = 0 # deve essere di molteplicità #3#.

Perché non è lo stesso per #G (x) #?

È di grado #3#, quindi ha tre zeri, ma due di essi sono zeri complessi non reali, nome # + - i #.

Un altro modo di osservare questo è quello di osservarlo # x = a # è uno zero di #f (x) # se e solo se # (X-a) # è un fattore

Noi troviamo:

#f (x) = x ^ 3 = (x-0) (x-0) (x-0) #

Questo è: # X = 0 # è uno zero #3# volte.

Il polinomio di grado 4, P (x) ha una radice di molteplicità 2 in x = 3 e radici di molteplicità 1 in x = 0 e x = -3. Passa attraverso il punto (5.112). Come trovi una formula per P (x)?

Un polinomio di grado 4 avrà la forma radice: y = k (x-r_1) (x-r_2) (x-r_3) (x-r_4) Sostituisci i valori per le radici e poi usa il punto per trovare il valore di k. Sostituisci i valori per le radici: y = k (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3)) Usa il punto (5.112) per trovare il valore di k: 112 = k (5-0) (5-3) (5-3) (5 - (- 3)) 112 = k (5) (2) (2) (8) k = 112 / ((5) (2) ( 2) (8)) k = 7/10 La radice del polinomio è: y = 7/10 (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3))

Il polinomio di grado 5, P (x) ha il coefficiente principale 1, ha radici di molteplicità 2 a x = 1 e x = 0, e una radice di molteplicità 1 a x = -3, come trovi una possibile formula per P (X)?

P (x) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 Ogni radice corrisponde a un fattore lineare, quindi possiamo scrivere: P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x +3) = x ^ 2 (x ^ 2-2x + 1) (x + 3) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 Qualsiasi polinomio con questi zeri e almeno queste molteplicità sarà un multiplo (scalare o polinomiale) di questa nota a piè di P (x) In senso stretto, un valore di x che risulta in P (x) = 0 è chiamato radice di P (x) = 0 o zero di P (x). Quindi la domanda dovrebbe davvero aver parlato degli zeri di P (x) o delle radici di P (x) = 0.

Il polinomio di grado 5, P (x) ha il coefficiente principale 1, ha radici di molteplicità 2 a x = 1 e x = 0, e una radice di molteplicità 1 a x = -1 Trova una formula possibile per P (x)?

P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) Dato che abbiamo una radice di molteplicità 2 a x = 1, sappiamo che P (x) ha un fattore (x-1) ^ 2 Dato che abbiamo una radice di molteplicità 2 a x = 0, sappiamo che P (x) ha un fattore x ^ 2 Dato che abbiamo una radice di molteplicità 1 a x = -1, sappiamo che P (x) ha un fattore x + 1 Ci viene dato che P (x) è un polinomio di grado 5, e quindi abbiamo identificato tutte e cinque le radici e i fattori, quindi possiamo scrivere P (x) = 0 => x ^ 2 (x -1) ^ 2 (x + 1) = 0 E possiamo quindi scrivere P (x) = Ax ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) Sappiamo anche che il coefficiente di guid