Come trovi int (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx usando le frazioni parziali?

Risposta:

Cerchi di dividere la funzione razionale in una somma che sarà davvero facile da integrare.

Spiegazione:

Prima di tutto: # x ^ 2 - 1 = (x-1) (x + 1) #.

La decomposizione a frazione parziale consente di farlo:

# (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = (x + 1) / (x (x-1) (x + 1)) = 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) # con # a, b in RR # che devi trovare.

Per trovarli, devi moltiplicare entrambi i lati per uno dei polinomi alla sinistra dell'uguaglianza. Ti mostro un esempio, l'altro coefficiente deve essere trovato allo stesso modo.

Troveremo #un#: dobbiamo moltiplicare tutto per #X# per far sparire l'altro coefficiente.

# 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) iff 1 / (x-1) = a + (bx) / (x-1) #.

#x = 0 iff -1 = a #

Fai la stessa cosa per trovare # B # (moltiplica tutto per # (X-1) # allora scegli tu #x = 1 #), e lo scopri #b = 1 #.

Così # (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = 1 / (x-1) - 1 / x #, che implica questo #int (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) dx = int (1 / (x-1) - 1 / x) dx = intdx / (x-1) - intdx / x = lnabs (x-1) - lnabsx #

Come si integra int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) usando le frazioni parziali?

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C Dobbiamo trovare A, B, C tale che 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) per tutti x. Moltiplicare entrambi i lati di x ^ 2 (2x-1) per ottenere 1 = Ax (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) xB I coefficienti di equazione ci danno {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} E quindi abbiamo A = -2, -1 = B, C = 4. Sostituendo questo nell'equazione iniziale, otteniamo 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 Ora, integralo con il termine int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx per ottenere 2ln | 2x-1 | -2ln | x | +

Come trovi int 3 / ((1 + x) (1 - 2x)) dx usando le frazioni parziali?

Ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C Sia 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) be = (A / (1 + x) + B / (1 - 2x) Espandendo il lato destro, otteniamo (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) Equazione, otteniamo (A * (1 - 2x ) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) = 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) cioè A * (1 - 2x) + B * (1 + x) = 3 o A - 2Ax + B + Bx = 3 o (A + B) + x * (- 2A + B) = 3 che equivale al coefficiente di x a 0 e costanti equivalenti, otteniamo A + B = 3 e -2A + B = 0 Risolvendo per A & B, otteniamo A = 1 e B = 2 Sostituendo nell'integrazione, otteniamo int 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) dx = int (1 / (1 + x) + 2 / (1 - 2x))

Come si integra int (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) usando le frazioni parziali?

È necessario decomporre (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) come una frazione parziale. Stai cercando a, b, c in RR tale che (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x -6) + c / (x + 4). Ti mostrerò come trovare un solo, perché b e c si trovano nello stesso identico modo. Si moltiplica entrambi i lati di x + 3, questo lo farà scomparire dal denominatore del lato sinistro e farlo apparire accanto a b e c. (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x-6) + c / (x + 4) iff (x -9) / ((x-6) (x + 4)) = a + (b (x + 3)) / (x-6) + (c (x + 3)) / (x + 4). Si valuta questo a x-3 per far sparire b e