Come trovi int 3 / ((1 + x) (1 - 2x)) dx usando le frazioni parziali?

Come trovi int 3 / ((1 + x) (1 - 2x)) dx usando le frazioni parziali?
Anonim

Risposta:

#ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C #

Spiegazione:

Permettere # 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) # essere = # (A / (1 + x) + B / (1 - 2x)) #

Espandendo il lato destro, otteniamo

# (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) #

Equating, otteniamo

# (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) # = # 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) #

vale a dire #A * (1 - 2x) + B * (1 + x) = 3 #

o #A - 2Ax + B + Bx = 3 #

o # (A + B) + x * (- 2A + B) = 3 #

equiparando il coefficiente di x a 0 e le costanti equanti, otteniamo

#A + B = 3 # e

# -2A + B = 0 #

Risolvendo per A & B, otteniamo

#A = 1 e B = 2 #

Sostituendo nell'integrazione, otteniamo

#int 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) dx # = #int (1 / (1 + x) + 2 / (1 - 2x)) dx #

= #int (1 / (1 + x)) dx + int (2 / (1 - 2x)) dx #

= #ln (1 + x) + 2 * ln (1 - 2x) * (-1 / 2) #

= #ln (1 + x) - ln (1 - 2x) #

= #ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C #