Come trovi int 3 / ((1 + x) (1 - 2x)) dx usando le frazioni parziali?

Risposta:

#ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C #

Spiegazione:

Permettere # 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) # essere = # (A / (1 + x) + B / (1 - 2x)) #

Espandendo il lato destro, otteniamo

# (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) #

Equating, otteniamo

# (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) # = # 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) #

vale a dire #A * (1 - 2x) + B * (1 + x) = 3 #

o #A - 2Ax + B + Bx = 3 #

o # (A + B) + x * (- 2A + B) = 3 #

equiparando il coefficiente di x a 0 e le costanti equanti, otteniamo

#A + B = 3 # e

# -2A + B = 0 #

Risolvendo per A & B, otteniamo

#A = 1 e B = 2 #

Sostituendo nell'integrazione, otteniamo

#int 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) dx # = #int (1 / (1 + x) + 2 / (1 - 2x)) dx #

= #int (1 / (1 + x)) dx + int (2 / (1 - 2x)) dx #

= #ln (1 + x) + 2 * ln (1 - 2x) * (-1 / 2) #

= #ln (1 + x) - ln (1 - 2x) #

= #ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C #

Come si integra int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) usando le frazioni parziali?

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C Dobbiamo trovare A, B, C tale che 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) per tutti x. Moltiplicare entrambi i lati di x ^ 2 (2x-1) per ottenere 1 = Ax (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) xB I coefficienti di equazione ci danno {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} E quindi abbiamo A = -2, -1 = B, C = 4. Sostituendo questo nell'equazione iniziale, otteniamo 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 Ora, integralo con il termine int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx per ottenere 2ln | 2x-1 | -2ln | x | +

Come si integra int (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) usando le frazioni parziali?

È necessario decomporre (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) come una frazione parziale. Stai cercando a, b, c in RR tale che (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x -6) + c / (x + 4). Ti mostrerò come trovare un solo, perché b e c si trovano nello stesso identico modo. Si moltiplica entrambi i lati di x + 3, questo lo farà scomparire dal denominatore del lato sinistro e farlo apparire accanto a b e c. (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x-6) + c / (x + 4) iff (x -9) / ((x-6) (x + 4)) = a + (b (x + 3)) / (x-6) + (c (x + 3)) / (x + 4). Si valuta questo a x-3 per far sparire b e

Come trovi int (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx usando le frazioni parziali?

Cerchi di dividere la funzione razionale in una somma che sarà davvero facile da integrare. Prima di tutto: x ^ 2 - 1 = (x-1) (x + 1). La decomposizione a frazioni parziali ti consente di farlo: (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = (x + 1) / (x (x-1) (x + 1)) = 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) con a, b in RR che devi trovare. Per trovarli, devi moltiplicare entrambi i lati per uno dei polinomi alla sinistra dell'uguaglianza. Ti mostro un esempio, l'altro coefficiente deve essere trovato allo stesso modo. Troveremo a: dobbiamo moltiplicare tutto per x per far sparire l'altro coefficiente. 1 / (x (x-1)) = a / x + b