Come si integra int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) usando le frazioni parziali?

Risposta:

# 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C #

Spiegazione:

Dobbiamo trovare # A, B, C # così

# 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) #

per tutti #X#.

Moltiplicare entrambi i lati per # X ^ 2 (2x-1) # ottenere

# 1 = Ax (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 #

# 1 = 2Ax ^ 2Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2 #

# 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) x-B #

I coefficienti di equazione ci danno

# {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} #

E così abbiamo # A = -2, -1 = B, C = 4 #. Sostituendo questo nell'equazione iniziale, otteniamo

# 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 #

Ora, integralo termine per termine

#int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx #

ottenere

# 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C #

Risposta:

La risposta è # = 1 / x-2ln (| x |) + 2ln (| 2x-1 |) + C #

Spiegazione:

Esegui la decomposizione in frazioni parziali

# 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x ^ 2 + B / x + C / (2x-1) #

# = (A (2x-1) + Bx (2x-1) + C (x ^ 2)) / (x ^ 2 (2x-1)) #

I denominatori sono uguali, confrontare i numeratori

# 1 = A (2x-1) + Bx (2x-1) + C (x ^ 2) #

Permettere # X = 0 #, #=>#, # 1 = -A #, #=>#, # A = -1 #

Permettere # X = 1/2 #, #=>#, # 1 = C / 4 #, #=>#, # C = 4 #

Coefficienti di # X ^ 2 #

# 0 = 2B + C #

# = B -C / 2 = -4/2 = -2 #

Perciò, # 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = - 1 / x ^ 2-2 / x + 4 / (2x-1) #

Così, #int (1DX) / (x ^ 2 (2x-1)) = - int (1DX) / x ^ 2-int (2dx) / x + int (4Dx) / (2x-1) #

# = 1 / x-2ln (| x |) + 2ln (| 2x-1 |) + C #