Qual è l'equazione della linea tangente in x = 1?

Risposta:

#y - F (1) = 2 sqrt (6) (x - 1) #

# "con F (1) = 1.935" #

Spiegazione:

#F '(x) = 2 sqrt ((2x) ^ 2 + 2x) #

# = 2 sqrt (4x ^ 2 + 2x) #

# => F '(1) = 2 sqrt (6) #

# "Quindi stiamo cercando la retta con pendenza" 2 sqrt (6) #

# "che passa attraverso (1, F (1))." #

# "Il problema è che non conosciamo F (1) a meno che non calcoliamo" #

# "l'integrale definito" #

# int_1 ^ 2 sqrt (t ^ 2 + t) "" dt #

# "Dobbiamo applicare una sostituzione speciale per risolvere questo integrale." #

# "Possiamo arrivarci con la sostituzione" u - t = sqrt (t ^ 2 + t) #

# => (u - t) ^ 2 = t ^ 2 + t => u ^ 2 - 2 u t + cancella (t ^ 2) = cancella (t ^ 2) + t #

# => t = u ^ 2 / (1 + 2u) #

# => dt / {du} = (2u (u + 1)) / (1 + 2u) ^ 2 #

# => t ^ 2 + t = u ^ 4 / (1 + 2u) ^ 2 + u ^ 2 / (1 + 2u) = ((u (u + 1)) / (1 + 2u)) ^ 2 #

# => sqrt (t ^ 2 + t) = (u (u + 1)) / (1 + 2u) #

#t = 1 => u ^ 2 - 2u - 1 = 0 => u = 1 + sqrt (2) #

#t = 2 => u ^ 2 - 4 u - 2 = 0 => u = 2 + sqrt (6) #

# "(prendiamo la soluzione con + segno perché" u - t = sqrt (…)> 0 ")" #

#int sqrt (t ^ 2 + t) "" dt = 2 int u ^ 2 (u + 1) ^ 2 / (1 + 2u) ^ 3 "" du #

# = 2 int (u ^ 4 + 2 u ^ 3 + u ^ 2) / (8 u ^ 3 + 12 u ^ 2 + 6 u + 1) "" du #

# = 2 int (u / 8 + 1/16) "" du - 2 int (u ^ 2/2 + u / 2 + 1/16) / (1 + 2u) ^ 3 "" du #

# = 2 (u ^ 2 + u) / 16 - 2 int (A / (1 + 2u) + B / (1 + 2u) ^ 2 + C / (1 + 2u) ^ 3) "" du #

# "(suddivisione in frazioni parziali)" #

# => A = 1/8, B = 0, C = -1 / 16 #

# = 2 (u ^ 2 + u) / 16 - 2 ln (| 1 + 2u |) / 16 - 2 / (64 (1 + 2u) ^ 2) #

# = (u ^ 2 + u) / 8 - ln (| 1 + 2u |) / 8 - 1 / (32 (1 + 2u) ^ 2) #

# "Valutiamo tra" u = 1 + sqrt (2) "e" u = 2 + sqrt (6) #

# "e otteniamo il valore" #

#F (1) = 1.935 #