Qual è il significato della forma indeterminata? E se possibile una lista di tutte le forme indeterminate?

Prima di tutto, non ci sono numeri indeterminati.

Ci sono numeri e ci sono descrizioni che suonano come se potessero descrivere un numero, ma non lo fanno.

"Il numero #X# quello fa # x + 3 = x-5 #"è una tale descrizione. Come è" Il numero #0/0#.'

È meglio evitare di dire (e di pensare) che "#0/0# è un numero indeterminato ".

Nel contesto dei limiti:

Quando valutiamo un limite di una funzione "costruita" da una combinazione algebrica di funzioni, usiamo le proprietà dei limiti.

Ecco alcuni dei. Si noti la condizione specificata all'inizio.

Se #lim_ (xrarra) f (x) # esiste e #lim_ (xrarra) g (x) # esiste, poi

#lim_ (xrarra) (f (x) + g (x)) = lim_ (xrarra) f (x) + lim_ (xrarra) g (x) #

#lim_ (xrarra) (f (x) -g (x)) = lim_ (xrarra) f (x) - lim_ (xrarra) g (x) #

#lim_ (xrarra) (f (x) g (x)) = lim_ (xrarra) f (x) lim_ (xrarra) g (x) #

#lim_ (xrarra) f (x) / g (x) = (lim_ (xrarra) f (x)) / (lim_ (xrarra) g (x)) # purché #lim_ (xrarra) g (x)! = 0 #

Si noti inoltre che usiamo la notazione: #lim_ (xrarra) f (x) = oo # per indicare che il limite NON ESISTE, ma stiamo spiegando il motivo (come #xrarra, #f (x) aumenta senza limite)

Se uno (o entrambi) dei limiti #lim_ (xrarra) f (x) # e #lim_ (xrarra) g (x) # non esiste, quindi la forma che otteniamo dalle proprietà limite potrebbe essere indeterminata. Sebbene non sia necessariamente indeterminato.

Esempio 1:

#f (x) = 2x + 3 #, e #g (x) = x ^ 2 + x #, e # A = 2 #

#lim_ (xrarr2) f (x) = 7 # e #lim_ (xrarr2) g (x) = 6 #.

Il valore del limite:

#lim_ (xrarr2) (f (x) + g (x)) # è determinato dalla forma della somma:

#lim_ (xrarra) f (x) + lim_ (xrarra) g (x) = 7 + 6 #

Esempio 2:

#f (x) = x + 3 + 1 / x ^ 2 #, e #g (x) = x ^ 2 + 7 + 1 / x ^ 2 #, e # A = 0 #

#lim_ (xrarr0) f (x) = oo # e #lim_ (xrarr0) g (x) = oo #.

Nonostante il fatto che non esiste alcun limite, la domanda del limite:

#lim_ (xrarr0) (f (x) + g (x)) # è determinato dalla forma della somma:

#lim_ (xrarra) f (x) + lim_ (xrarra) g (x) = oo + oo = oo #

La notazione sembra come se dicessimo qualcosa che non stiamo dicendo. Non stiamo dicendo che l'infinito è un numero che possiamo aggiungere a se stesso per ottenere l'infinito.

Quello che stiamo dicendo è:

il limite come #X# approcci #0# della somma di queste due funzioni non esiste, perché come #x rarr 0 #, tutti e due #f (x) # e #G (x) # aumentare senza vincoli, quindi la somma di queste funzioni aumenta anche senza vincoli.

Esempio 3: Per lo stesso set-up dell'esempio 2, considerare il limite della differenza anziché la somma:

Se #f (x) # e #G (x) # stanno aumentando senza vincoli come #x rarr 0 #, possiamo concludere che la somma sta aumentando anche senza limiti. Ma non possiamo trarre conclusioni sulla differenza.

#lim_ (xrarr0) (f (x) -g (x)) # NON è determinato dalla forma della differenza:

#lim_ (xrarra) f (x) - lim_ (xrarra) g (x) = oo - oo = "?" #

Per # F-g # alla fine ci arriveremo # - 4#, ma per #g - f # noi abbiamo #+4#

Le forme di limiti indeterminate includono:

#0/0#, # Oo / oo #, # Oo-oo #, # 0 * oo #, #0^0#, #oo ^ 0 #, # 1 ^ oo #

(L'ultimo mi ha sorpreso fino a quando non sono riuscito a ricordarlo

#lim_ (xrarroo) (1 + 1 / x) ^ x = lim_ (xrarr0) (1 + x) ^ (1 / x) = e #)

Il modulo # L / 0 # con #L! = 0 # è forse "semi-determinato". Sappiamo che il limite non esiste e che non riesce a causa di un aumento o di una diminuzione decrescente senza un comportamento vincolato, ma non possiamo dire quale.

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