Quali sono gli estremi assoluti di f (x) = x / (x ^ 2 + 25) nell'intervallo [0,9]?

Risposta:

massimo assoluto: #(5, 1/10)#

minimo assoluto: #(0, 0)#

Spiegazione:

Dato: #f (x) = x / (x ^ 2 + 25) "su intervallo" 0, 9 #

Gli estremi assoluti possono essere trovati valutando gli endpoint e individuando eventuali massimi o minimi relativi e confrontandoli # Y #-valori.

Valuta i punti finali:

#f (0) = 0/25 = 0 => (0, 0) #

#f (9) = 9 / (9 ^ 2 + 25) = 9 / (81 + 25) = 9/106 => (9, 9/106) ~~ (9,.085) #

Trova eventuali minimi o massimi relativi IMPOSTANDO #f '(x) = 0 #.

Utilizza la regola del quoziente: # (u / v) '= (vu' - uv ') / v ^ 2 #

Permettere #u = x; "" u '= 1; "" v = x ^ 2 + 25; "" v '= 2x #

#f '(x) = ((x ^ 2 + 25) (1) - x (2x)) / (x ^ 2 + 25) ^ 2 #

#f '(x) = (-x ^ 2 + 25) / (x ^ 2 + 25) ^ 2 = 0 #

Da # (x ^ 2 + 25) ^ 2 * 0 = 0 #, abbiamo solo bisogno di impostare il numeratore = 0

# -x ^ 2 + 25 = 0 #

# x ^ 2 = 25 #

valori critici: # x = + - 5 #

Dal momento che il nostro intervallo è #0, 9#, dobbiamo solo guardare #x = 5 #

#f (5) = 5 / (5 ^ 2 + 25) = 5/50 = 1/10 => (5, 1/10) #

Utilizzando il primo test derivativo, imposta gli intervalli per scoprire se questo punto è un massimo relativo o un minimo relativo:

intervalli: #' '(0, 5),' ' (5, 9)#

valori di prova: # "" x = 1, "" x = 6 #

#f '(x): "" f' (1)> 0, f '(6) <0 #

Questo significa a #f (5) # abbiamo un massimo relativo. Questo diventa il massimo assoluto nell'intervallo #0, 9#, dal momento che il # Y #-valore del punto #(5, 1/10) = (5, 0.1)# è il più alto # Y #-valore nell'intervallo.

** Il minimo assoluto si verifica al più basso # Y #-valore all'endpoint #(0,0)**.#