Qual è il dominio e l'intervallo di (2/3) ^ x - 9?

Risposta:

Dominio: # (- oo, oo) #

Gamma: # (- 9, oo) #

Spiegazione:

Prima nota # (2/3) ^ x-9 # è ben definito per qualsiasi valore reale di #X#. Quindi il dominio è l'intero # RR #, cioè # (- oo, oo) #

Da #0 < 2/3 < 1#, la funzione # (2/3) ^ x # è una funzione in decremento esponenziale che prende grandi valori positivi quando #X# è grande e negativo, ed è asintotico #0# per grandi valori positivi di #X#.

Nella notazione limite, possiamo scrivere:

#lim_ (x -> - oo) (2/3) ^ x = -oo #

#lim_ (x-> oo) (2/3) ^ x = 0 #

# (2/3) ^ x # è continuo e rigorosamente monotonicamente decrescente, quindi la sua portata è # (0, oo) #.

Sottrarre #9# per trovare che la gamma di # (2/3) ^ x # è # (- 9, oo) #.

Permettere:

#y = (2/3) ^ x-9 #

Poi:

# y + 9 = (2/3) ^ x #

Se #y> -9 # allora possiamo prendere i registri di entrambi i lati per trovare:

#log (y + 9) = log ((2/3) ^ x) = x log (2/3) #

e quindi:

#x = log (y + 9) / log (2/3) #

Quindi per qualsiasi #y in (-9, oo) # possiamo trovare un corrispondente #X# tale che:

# (2/3) ^ x-9 = y #

Ciò conferma che l'intervallo è il tutto # (- 9, oo) #.