Per f (x) = xsin ^ 3 (x / 3) qual è l'equazione della linea tangente in x = pi?

Risposta:

# Y = 1.8276x-3.7 #

Spiegazione:

Devi trovare la derivata:

#f '(x) = (x)' sin ^ 3 (x / 3) + x * (sin ^ 3 (x / 3)) '#

In questo caso, la derivata della funzione trigonometrica è in realtà una combinazione di 3 funzioni elementari. Questi sono:

# # Sinx

# X ^ n #

# C * x #

Il modo in cui questo sarà risolto è il seguente:

# (Sin ^ 3 (x / 3)) '= 3sin ^ 2 (x / 3) * (sin (x / 3))' = #

# = 3sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) (x / 3) '= #

# = 3sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) * 1/3 = #

# = Sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

Perciò:

#f '(x) = 1 * sin ^ 3 (x / 3) + x * sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

#f '(x) = sin ^ 3 (x / 3) + x * sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

#f '(x) = sin ^ 2 (x / 3) * (sin (x / 3) + Xcos (x / 3)) #

La derivazione dell'equazione tangente:

#f '(x_0) = (y-f (x_0)) / (x-x_0) #

#f '(x_0) * (x-x_0) = y-f (x_0) #

# Y = f '(x_0) * x-f' (x_0) * x_0 + f (x_0) #

Sostituendo i seguenti valori:

# X_0 = π #

#f (x_0) = f (π) = π * sin ^ 3 (π / 3) = 2,0405 #

#f '(x_0) = f' (π) = sin ^ 2 (π / 3) * (sin (π / 3) + πcos (π / 3)) = 1,8276 #

Pertanto, l'equazione diventa:

# Y = 1.8276x-1,8276 * π + 2,0405 #

# Y = 1.8276x-3.7 #

Nel grafico qui sotto puoi vedere quello a # X = π = 3.14 # la tangente infatti aumenta e interseca l'asse y in #y <0 #

graph {x (sin (x / 3)) ^ 3 -1.53, 9.57, -0.373, 5.176}