Qual è l'inverso di f (x) = -log_3 (x ^ 3) -3log_3 (x-3)?

Risposta:

#f ^ (- 1) (y) = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #

Spiegazione:

Supponendo che abbiamo a che fare # # Log_3 come una funzione di valore reale e inversa di # 3 ^ x #, quindi il dominio di #f (x) # è # (3, oo) #, dal momento che abbiamo bisogno #x> 3 # in modo che # Log_3 (x-3) # essere definito.

Permettere #y = f (x) #

# = -log_3 (x ^ 3) -3log_3 (x-3) #

# = - 3 log_3 (x) -3 log_3 (x-3) #

# = - 3 (log_3 (x) + log_3 (x-3)) #

# = - 3 log_3 (x (x-3)) #

# = - 3 log_3 (x ^ 2-3x) #

# = - 3 log_3 ((x-3/2) ^ 2-9 / 4) #

Poi:

# -y / 3 = log_3 ((x-3/2) ^ 2-9 / 4) #

Così:

# 3 ^ (- y / 3) = (x-3/2) ^ 2-9 / 4 #

Così:

# 3 ^ (- y / 3) +9/4 = (x-3/2) ^ 2 #

Così:

# x-3/2 = + -sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) #

Infatti, deve essere la radice quadrata positiva poiché:

# x-3/2> 3-3 / 2> 0 #

Così:

#x = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #

Quindi:

#f ^ (- 1) (y) = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #