Come valuti l'integrale definito int sin2theta da [0, pi / 6]?

Risposta:

# Int_0 ^ (pi / 6) sin2theta = 1/4 #

Spiegazione:

# int_0 ^ (pi / 6) sin (2theta) d theta #

permettere

#color (rosso) (u = 2theta) #

#color (rosso) (du = 2d theta) #

#color (rosso) (d theta = (du) / 2) #

I confini sono cambiati in #color (blu) (0, pi / 3) #

# int_0 ^ (pi / 6) sin2thetad theta #

# = Int_color (blu) 0 ^ colore (blu) (pi / 3) sincolor (rosso) (u (du) / 2) #

# = 1 / 2int_0 ^ (pi / 3) sinudu #

Come sappiamo il# Intsinx = -cosx #

# = - 1/2 (cos (pi / 3) -cos0) #

#=-1/2(1/2-1)=-1/2*-1/2=1/4#

perciò,# Int_0 ^ (pi / 6) sin2theta = 1/4 #

Come valuti l'integrale definito int t sqrt (t ^ 2 + 1dt) delimitato da [0, sqrt7]?

È int_0 ^ sqrt7 t * sqrt (t ^ 2 + 1) dt = int_0 ^ sqrt7 1/2 * (t ^ 2 + 1) '* sqrt (t ^ 2 + 1) dt = int_0 ^ sqrt7 1/2 * [(t ^ 2 + 1) ^ (3/2) / (3/2)] 'dt = 1/3 * [(t ^ 2 + 1) ^ (3/2)] _ 0 ^ sqrt7 = 1/3 (16 sqrt (2) -1) ~~ 7.2091

Come valuti l'integrale definito int ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 dx da [3,9]?

Int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 * dx = 9/8-sqrt3 / 4 + 1/16 * ln 3 = 0.7606505661495 Dal dato, int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / ( 4sqrtx)) ^ 2 * dx Iniziamo semplificando prima l'integrando int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 ((sqrtx) / (4sqrtx) + 1 / (4sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 (1/4 + 1 / (4sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 (1/4) ^ 2 * (1 + 1 / (sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 ( 1/16) * (1 + 2 / (sqrtx) + 1 / x) dx (1/16) * int_3 ^ 9 (1 + 2 * x ^ (- 1/2) + 1 / x) dx (1 / 16) * [x + (2 * x ^ (1/2)) / (1/2) + ln x] _3 ^ 9 (1/16) * [x + 4 * x ^ (1/2) + ln x ] _3 ^ 9 (1/16) * [(9 + 4 * 9 ^ (1/2) + ln 9) - (3 + 4 * 3

Come valuti l'integrale definito int (2t-1) ^ 2 da [0,1]?

1/3 int_0 ^ 1 (2t-1) ^ 2dt Let u = 2t-1 implica du = 2dt quindi dt = (du) / 2 Trasformazione dei limiti: t: 0rarr1 implica u: -1rarr1 L'integrale diventa: 1 / 2int_ ( -1) ^ 1u ^ 2du = 1/2 [1 / 3u ^ 3] _ (- 1) ^ 1 = 1/6 [1 - (-1)] = 1/3