Qual è l'integrale di int tan ^ 4x dx?

Risposta:

# (Tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Spiegazione:

La risoluzione degli antiderivati del trig consiste solitamente nella rottura dell'integrale in giù per applicare le identità pitagoriche, e loro usano a # U #-sostituzione. Questo è esattamente quello che faremo qui.

Inizia riscrivendo # Inttan ^ 4xdx # come # Inttan ^ ^ 2xtan 2xdx #. Ora possiamo applicare l'identità pitagorica # Tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #, o # Tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #:

# Inttan ^ 2xtan ^ 2xdx = int (sec ^ 2x-1) tan ^ 2xdx #

Distribuire il # Tan ^ 2x #:

#color (bianco) (XX) = intsec ^ ^ 2xtan 2xtan ^ 2xdx #

Applicando la regola della somma:

#color (bianco) (XX) = intsec ^ ^ 2xtan 2xdx-inttan ^ 2xdx #

Valuteremo questi integrali uno per uno.

Primo integrale

Questo è risolto usando a # U #-sostituzione:

Permettere # U = tanx #

# (Du) / dx = sec ^ 2x #

# Du = sec ^ 2xdx #

Applicando la sostituzione, #color (bianco) (XX) intsec ^ ^ 2xtan 2xdx = INTU ^ 2DU #

#color (bianco) (XX) = u ^ 3/3 + C #

Perché # U = tanx #, # Intsec ^ ^ 2xtan 2xdx = (tan ^ 3x) / 3 + C #

Secondo integrale

Dal momento che non sappiamo veramente cosa # Inttan ^ 2xdx # è solo guardandolo, prova ad applicare il # Tan ^ 2 = sec ^ 2x-1 # identità di nuovo:

# Inttan ^ 2xdx = int (sec ^ 2x-1) dx #

Usando la regola della somma, l'integrale si riduce a:

# Intsec ^ 2xdx-int1dx #

Il primo di questi, # Intsec ^ 2xdx #, è solo # Tanx + C #. Il secondo, il cosiddetto "integrale perfetto", è semplicemente # X + C #. Mettendo tutto insieme, possiamo dire:

# Inttan ^ 2xdx = tanx + C-x + C #

E perché # C + C # è solo un'altra costante arbitraria, possiamo combinarla in una costante generale # C #:

# Inttan ^ 2xdx = tanx-x + C #

Combinando i due risultati, abbiamo:

# Inttan ^ 4xdx = intsec ^ ^ 2xtan 2xdx-inttan ^ 2xdx = ((tan ^ 3x) / 3 + C) - (tanx-x + C) = (tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Di nuovo, perché # C + C # è una costante, possiamo unirli in uno solo # C #.

Qual è l'integrale di int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Il nostro grosso problema in questo integrale è la radice, quindi vogliamo liberarcene. Possiamo farlo introducendo una sostituzione u = sqrt (2x-1). La derivata è quindi (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) Quindi dividiamo (e ricordiamo, dividendo per un reciproco è uguale a moltiplicare per il solo denominatore) per integrare rispetto a u: int ( x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / cancel (sqrt (2x-1)) cancel (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du Ora tutto ciò che dobbiamo fare è esprimere x ^ 2 in termini d

Qual è l'integrale di int tan ^ 5 (x)?

Int tan ^ (5) (x) dx = 1 / 4sec ^ (4) (x) -sec ^ (2) (x) + ln | sec (x) | + C int tan ^ (5) (x) dx Sapendo che tan ^ (2) (x) = sec ^ 2 (x) -1, possiamo riscriverlo come int (sec ^ 2 (x) -1) ^ (2) tan (x) dx, che produce int sec ^ 3 (x) sec (x) tan (x) dx-2int sec ^ 2 (x) tan (x) dx + int tan (x) dx Primo integrale: Let u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx Secondo integrale: Sia u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx Quindi int u ^ 3 du - 2int u du + int tan (x) dx nota che int tan (x) dx = ln | sec (x) | + C, dandoci quindi 1/4 u ^ 4 - 1/2 u ^ 2 + ln | sec (x) | + C Sostituendoci nell'espressione ci dà il

Come valuti l'integrale definito int sec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) da [0, pi / 4]?

Pi / 4 Si noti che dalla seconda identità pitagorica che 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x Significa che la frazione è uguale a 1 e questo ci lascia l'integrale piuttosto semplice di int_0 ^ (pi / 4) dx = x | _0 ^ (pi / 4) = pi / 4