Qual è l'integrale di int tan ^ 5 (x)?

Risposta:

#int tan ^ (5) (x) dx = 1 / 4sec ^ (4) (x) -sec ^ (2) (x) + ln | sec (x) | + C #

Spiegazione:

#int tan ^ (5) (x) dx #

Conoscendo il fatto # tan ^ (2) (x) = sec ^ 2 (x) -1 #, possiamo riscriverlo come

#int (sec ^ 2 (x) -1) ^ (2) tan (x) dx #, che produce

#int sec ^ 3 (x) sec (x) tan (x) dx-2int sec ^ 2 (x) tan (x) dx + int tan (x) dx #

Primo integrale:

Permettere # u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx #

Secondo integrale:

Permettere #u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx #

Perciò

#int u ^ 3 du - 2int u du + int tan (x) dx #

Si noti inoltre che #int tan (x) dx = ln | sec (x) | + C #, dandoci così

# 1/4 u ^ 4 - 1/2 u ^ 2 + ln | sec (x) | + C #

sostituendo # U # di nuovo nell'espressione ci dà il nostro risultato finale di

# 1/4 sec ^ (4) (x) -Cancella (2) * (1 / annullare (2)) sec ^ (2) (x) + ln | sec (x) | + C #

così

#int tan ^ (5) (x) dx = 1 / 4sec ^ (4) (x) -sec ^ (2) (x) + ln | sec (x) | + C #

Qual è l'integrale di int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Il nostro grosso problema in questo integrale è la radice, quindi vogliamo liberarcene. Possiamo farlo introducendo una sostituzione u = sqrt (2x-1). La derivata è quindi (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) Quindi dividiamo (e ricordiamo, dividendo per un reciproco è uguale a moltiplicare per il solo denominatore) per integrare rispetto a u: int ( x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / cancel (sqrt (2x-1)) cancel (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du Ora tutto ciò che dobbiamo fare è esprimere x ^ 2 in termini d

Qual è l'integrale di int tan ^ 4x dx?

(tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C La risoluzione degli antiderivati trig di solito comporta la rottura dell'integrale in giù per applicare le Identità Pitagoriche e loro usando una sostituzione u. Questo è esattamente quello che faremo qui. Inizia riscrivendo inttan ^ 4xdx come inttan ^ 2xtan ^ 2xdx. Ora possiamo applicare l'identità pitagorica tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x, o tan ^ 2x = sec ^ 2x-1: inttan ^ 2xtan ^ 2xdx = int (sec ^ 2x-1) tan ^ 2xdx Distribuzione dell'abbronzatura ^ 2x : color (white) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2x-tan ^ 2xdx Applicazione della regola sum: color (white) (XX) = intsec ^ 2x

Come valuti l'integrale definito int sec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) da [0, pi / 4]?

Pi / 4 Si noti che dalla seconda identità pitagorica che 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x Significa che la frazione è uguale a 1 e questo ci lascia l'integrale piuttosto semplice di int_0 ^ (pi / 4) dx = x | _0 ^ (pi / 4) = pi / 4