Qual è l'area di un triangolo equilatero i cui vertici giacciono su un cerchio con raggio 2?

Risposta:

# 3 * sqrt (3) ~ = 5.196 #

Spiegazione:

Fare riferimento alla figura seguente

La figura rappresenta un triangolo equilatero inscritto in un cerchio, dove #S# sta per i lati del triangolo, # H # sta per l'altezza del triangolo, e # R # indica il raggio del cerchio.

Possiamo vedere che i triangoli ABE, ACE e BCE sono congruenti, ecco perché possiamo dire quell'angolo #E cappello C D = (A cappello C D) / 2 = 60 ^ @ / 2 = 30 ^ @ #.

Possiamo vedere dentro #triangle_ (CDE) # quello

#cos 30 ^ @ = (s / 2) / R # => # s = 2 * R * cos 30 ^ @ = cancel (2) * R * sqrt (3) / cancel (2) # => # s = sqrt (3) * R #

Nel #triangle_ (ACD) # non possiamo vederlo

#tan 60 ^ @ = h / (s / 2) # => # h = s * tan 60 ^ @ / 2 # => # h = sqrt (3) / 2 * s = sqrt (3) / 2 * sqrt (3) * R # => # = h (3R) / 2 #

Dalla formula dell'area del triangolo:

# S_triangle = (base x altezza) / 2 #

Noi abbiamo

# S_triangle = (s * h) / 2 = (sqrt (3) R * (3R) / 2) / 2 = (3 * sqrt (3) * R ^ 2) / 4 = (3 * sqrt (3) * annullare (2 ^ 2)) / annullare (4) = 3 * sqrt (3) #