Usando l'integrazione per parti,
# IntX ^ 2sinpixdx #
#=#
# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #
Ricorda che l'integrazione per parti usa la formula:
# # Intu # # Dv =#uv - intv # # Du #
Che si basa sulla regola del prodotto per i derivati:
#uv = vdu + udv #
Per usare questa formula, dobbiamo decidere quale termine sarà
Trig inverso
logaritmi
Algebra
Trig
esponenziali
Questo ti dà un ordine di priorità di quale termine è usato per "
Ora abbiamo:
#u = x ^ 2 # ,#dv = sinpix #
I prossimi elementi di cui abbiamo bisogno nella formula sono "
La derivata si ottiene usando la regola di potere:
# d / dxx ^ 2 = 2x = du #
Per l'integrale, possiamo usare la sostituzione.
utilizzando
Ora abbiamo:
#du = 2x dx # ,#v = # # (- 1 / pi) cospix #
Inserendo la nostra originale formula Integration by Parts, abbiamo:
# # Intu # # Dv =#uv - intv # # Du #
#=#
# intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix - (-1 / pi) int2xcospixdx #
Ora siamo rimasti con un altro integrale che dobbiamo usare ancora una volta per integrare Integrazione per Parti. Tirando il
#intxcospixdx = (1 / pi) xsinpix - (1 / pi) intsinpixdx #
Quest'ultimo integrale possiamo risolvere con un giro finale di sostituzione, dandoci:
# (1 / pi) intsinpixdx = (-1 / pi ^ 2) cospix #
Mettendo insieme tutto ciò che abbiamo trovato, ora abbiamo:
# (- 1 / pi) x ^ 2cospix - (-2 / pi) (1 / pi) xsinpix - (-1 / pi ^ 2) cospix #
Ora possiamo semplificare i negativi e le parentesi per ottenere la nostra risposta finale:
# intx ^ 2sinpixdx = #
# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #
La chiave è ricordare che si finirà con l'aggiungere o sottrarre una catena di termini multipli. Stai dividendo continuamente l'integrale in parti più piccole e maneggevoli di cui devi tenere traccia per la risposta finale.
Come trovo l'integrale int (ln (x)) ^ 2dx?
Il nostro obiettivo è ridurre la potenza di ln x in modo che l'integrale sia più facile da valutare. Possiamo realizzare ciò utilizzando l'integrazione per parti. Tieni presente la formula IBP: int u dv = uv - int v du Ora, useremo u = (lnx) ^ 2 e dv = dx. Pertanto, du = (2lnx) / x dx e v = x. Ora, assemblando i pezzi, otteniamo: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx Questo nuovo integrale sembra molto meglio! Semplificando un po 'e portando avanti la costante, restituisce: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Ora, per sbarazzarsi di questo prossimo integrale, faremo un
Come trovo l'integrale int (x * cos (5x)) dx?
Ti terremo a mente la formula per l'integrazione per parti, che è: int u dv = uv - int v du Per trovare questo integrale con successo lasceremo u = x, e dv = cos 5x dx. Pertanto, du = dx e v = 1/5 sin 5x. (v può essere trovato usando una rapida sostituzione con u) Il motivo per cui ho scelto x per il valore di u è perché so che in seguito finirò per integrarmi v moltiplicato per la derivata di u. Dato che la derivata di u è solo 1, e poiché l'integrazione di una funzione trigonometrica da sola non lo rende più complesso, abbiamo effettivamente rimosso la x dall'integrando
Come trovo l'integrale int (x * e ^ -x) dx?
Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C Processo: int x e ^ (- x) dx =? Questo integrale richiederà l'integrazione per parti. Tieni a mente la formula: int u dv = uv - int v du Vi faremo u = x, e dv = e ^ (- x) dx. Pertanto, du = dx. Trovare v richiederà una sostituzione u; Userò la lettera q invece di u dato che stiamo già usando u nella formula dell'integrazione per parti. v = int e ^ (- x) dx lascia q = -x. quindi, dq = -dx Riscriveremo l'integrale, aggiungendo due negativi per ospitare dq: v = -int -e ^ (- x) dx Scritto in termini di q: v = -int e ^ (q) dq Pertanto, v = -e ^ (q)