Come trovo l'integrale int (x * cos (5x)) dx?

Terremo presente la formula di integrazione per parti, che è:

#int u dv = uv - int v du #

Per trovare questo integrale con successo lasceremo #u = x #, e #dv = cos 5x dx #. Perciò, #du = dx # e #v = 1/5 sin 5x #. (# V # può essere trovato usando un rapido # U #-sostituzione)

La ragione per cui ho scelto #X# per il valore di # U # è perché so che più tardi finirò per integrarmi # V # moltiplicato per # U #Derivato Dal momento che il derivato di # U # è solo #1#e poiché l'integrazione di una funzione trigonometrica da sola non lo rende più complesso, abbiamo rimosso efficacemente il #X# dall'integrand e devo solo preoccuparmi del seno ora.

Quindi, inserendo la formula dell'IBP, otteniamo:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx #

Tirando il #1/5# fuori dall'integrato ci dà:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/5 int sin 5x dx #

L'integrazione del seno richiederà solo un # U #-sostituzione. Dal momento che abbiamo già usato # U # per la formula dell'IBP userò la lettera # # Q anziché:

#q = 5x #

#dq = 5 dx #

Prendere un # 5 dx # all'interno dell'integrand moltiplicherò l'integrale di un altro #1/5#:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int 5sin 5x dx #

E, sostituendo tutto in termini di # # Q:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int sinq * dq #

Sappiamo che l'integrale di #peccato# è # # -Cos, quindi possiamo terminare facilmente questo integrale. Ricorda la costante di integrazione:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + 1/25 cos q + C #

Ora sostituiremo semplicemente # # Q:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + (cos 5x) / 25 + C #

E c'è il nostro integrale.

Come trovo l'integrale int (ln (x)) ^ 2dx?

Il nostro obiettivo è ridurre la potenza di ln x in modo che l'integrale sia più facile da valutare. Possiamo realizzare ciò utilizzando l'integrazione per parti. Tieni presente la formula IBP: int u dv = uv - int v du Ora, useremo u = (lnx) ^ 2 e dv = dx. Pertanto, du = (2lnx) / x dx e v = x. Ora, assemblando i pezzi, otteniamo: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx Questo nuovo integrale sembra molto meglio! Semplificando un po 'e portando avanti la costante, restituisce: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Ora, per sbarazzarsi di questo prossimo integrale, faremo un

Come trovo l'integrale int (x ^ 2 * sin (pix)) dx?

Utilizzo dell'integrazione per parti, intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C Ricorda che l'integrazione per parti usa la formula: intu dv = uv - intv du Che è basato sulla regola del prodotto per i derivati: uv = vdu + udv Per usare questa formula, dobbiamo decidere quale termine sarà u, e quale sarà dv. Un modo utile per capire quale termine va dove è il metodo ILATE. Logotipi di Trig inversi Algebra Trig Exponentials Questo ti dà un ordine di priorità di quale termine è usato per "u", quindi tutto ciò che rimane

Come trovo l'integrale int (x * e ^ -x) dx?

Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C Processo: int x e ^ (- x) dx =? Questo integrale richiederà l'integrazione per parti. Tieni a mente la formula: int u dv = uv - int v du Vi faremo u = x, e dv = e ^ (- x) dx. Pertanto, du = dx. Trovare v richiederà una sostituzione u; Userò la lettera q invece di u dato che stiamo già usando u nella formula dell'integrazione per parti. v = int e ^ (- x) dx lascia q = -x. quindi, dq = -dx Riscriveremo l'integrale, aggiungendo due negativi per ospitare dq: v = -int -e ^ (- x) dx Scritto in termini di q: v = -int e ^ (q) dq Pertanto, v = -e ^ (q)