Come trovo l'integrale int (x * e ^ -x) dx?

#int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C #

Processi:

#int x e ^ (- x) dx = # ?

Questo integrale richiederà l'integrazione per parti. Tieni presente la formula:

#int u dv = uv - int v du #

Lo lasceremo #u = x #, e #dv = e ^ (- x) dx #.

Perciò, #du = dx #. scoperta # V # richiederà a # U #-sostituzione; Userò la lettera # # Q invece di # U # dal momento che stiamo già usando # U # nella formula dell'integrazione per parti.

#v = int e ^ (- x) dx #

permettere #q = -x #.

in tal modo, #dq = -dx #

Riscriveremo l'integrale, aggiungendo due negativi per adattarlo # Dq #:

#v = -int -e ^ (- x) dx #

Scritto in termini di # # Q:

#v = -int e ^ (q) dq #

Perciò,

#v = -e ^ (q) #

Sostituire per # # Q ci da:

#v = -e ^ (- x) #

Ora, guardando indietro alla formula dell'IBP, abbiamo tutto ciò di cui abbiamo bisogno per iniziare a sostituire:

#int xe ^ (- x) dx = x * (- e ^ (- x)) - int -e ^ (- x) dx #

Semplificare, annullando i due negativi:

#int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) + int e ^ (- x) dx #

Quel secondo integrale dovrebbe essere facile da risolvere - è uguale a # V #, che abbiamo già trovato. Basta sostituire, ma ricorda di aggiungere la costante di integrazione:

#int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C #

Come trovo l'integrale int (ln (x)) ^ 2dx?

Il nostro obiettivo è ridurre la potenza di ln x in modo che l'integrale sia più facile da valutare. Possiamo realizzare ciò utilizzando l'integrazione per parti. Tieni presente la formula IBP: int u dv = uv - int v du Ora, useremo u = (lnx) ^ 2 e dv = dx. Pertanto, du = (2lnx) / x dx e v = x. Ora, assemblando i pezzi, otteniamo: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx Questo nuovo integrale sembra molto meglio! Semplificando un po 'e portando avanti la costante, restituisce: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Ora, per sbarazzarsi di questo prossimo integrale, faremo un

Come trovo l'integrale int (x ^ 2 * sin (pix)) dx?

Utilizzo dell'integrazione per parti, intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C Ricorda che l'integrazione per parti usa la formula: intu dv = uv - intv du Che è basato sulla regola del prodotto per i derivati: uv = vdu + udv Per usare questa formula, dobbiamo decidere quale termine sarà u, e quale sarà dv. Un modo utile per capire quale termine va dove è il metodo ILATE. Logotipi di Trig inversi Algebra Trig Exponentials Questo ti dà un ordine di priorità di quale termine è usato per "u", quindi tutto ciò che rimane

Come trovo l'integrale int (x * cos (5x)) dx?

Ti terremo a mente la formula per l'integrazione per parti, che è: int u dv = uv - int v du Per trovare questo integrale con successo lasceremo u = x, e dv = cos 5x dx. Pertanto, du = dx e v = 1/5 sin 5x. (v può essere trovato usando una rapida sostituzione con u) Il motivo per cui ho scelto x per il valore di u è perché so che in seguito finirò per integrarmi v moltiplicato per la derivata di u. Dato che la derivata di u è solo 1, e poiché l'integrazione di una funzione trigonometrica da sola non lo rende più complesso, abbiamo effettivamente rimosso la x dall'integrando