Qual è la radice di 97?

Risposta:

#sqrt (97) ~~ 9.8488578 #

Spiegazione:

Da #97# è un numero primo, non contiene fattori quadrati maggiori di #1#. Di conseguenza #sqrt (97) # non è semplificabile ed è irrazionale.

Da #97# è un po 'meno di #100 = 10^2#, #sqrt (97) # è un po 'meno di #10#.

Infatti #sqrt (97) ~~ 9.8488578 #

#colore bianco)()#

indennità

Un rapido schizzo di una prova #sqrt (97) # non è esprimibile nella forma # P / q # per alcuni interi #p, q # va così …

#colore bianco)()#

supporre #sqrt (97) = p / q # per alcuni interi #p> q> 0 #.

Senza perdita di generalità, lascia #p, q # essere la più piccola coppia di interi.

Poi abbiamo:

# 97 = (p / q) ^ 2 = p ^ 2 / q ^ 2 #

Moltiplicando entrambi i lati # Q ^ 2 # noi abbiamo:

# 97 q ^ 2 = p ^ 2 #

Il lato sinistro è un intero divisibile per #97#, così # P ^ 2 # è divisibile per #97#.

Da #97# è primo, questo significa # P # deve essere divisibile per #97#dire #p = 97r # per alcuni interi # R #.

Così:

# 97 q ^ 2 = p ^ 2 = (97 r) ^ 2 = 97 ^ 2 r ^ 2 #

Dividi le due estremità di # 97r ^ 2 # ottenere:

# q ^ 2 / r ^ 2 = 97 #

Quindi: #sqrt (97) = q / r #

Adesso #p> q> r> 0 #.

Così #q, r # è una coppia più piccola di numeri interi con quoziente #sqrt (97) #, contraddicendo la nostra ipotesi. Quindi l'ipotesi è falsa. Non ci sono coppie di numeri interi #p, q # con #sqrt (97) = p / q #.

Qual è la forma semplificata di radice quadrata di 10 - radice quadrata di 5 su radice quadrata di 10 + radice quadrata di 5?

(sqrt (10) -sqrt (5)) / (sqrt (10) + sqrt (5) = 3-2sqrt (2) (sqrt (10) -sqrt (5)) / (sqrt (10) + sqrt (5 ) color (bianco) ("XXX") = cancel (sqrt (5)) / cancel (sqrt (5)) * (sqrt (2) -1) / (sqrt (2) +1) colore (bianco) (" XXX ") = (sqrt (2) -1) / (sqrt (2) +1) * (sqrt (2) -1) / (sqrt (2) -1) color (white) (" XXX ") = ( sqrt (2) -1) ^ 2 / ((sqrt (2) ^ 2-1 ^ 2) colore (bianco) ("XXX") = (2-2sqrt2 + 1) / (2-1) colore (bianco) ( "XXX") = 3-2sqrt (2)

Qual è la radice quadrata di 3 + la radice quadrata di 72 - la radice quadrata di 128 + la radice quadrata di 108?

7sqrt (3) - 2sqrt (2) sqrt (3) + sqrt (72) - sqrt (128) + sqrt (108) Sappiamo che 108 = 9 * 12 = 3 ^ 3 * 2 ^ 2, quindi sqrt (108) = sqrt (3 ^ 3 * 2 ^ 2) = 6sqrt (3) sqrt (3) + sqrt (72) - sqrt (128) + 6sqrt (3) Sappiamo che 72 = 9 * 8 = 3 ^ 2 * 2 ^ 3, quindi sqrt (72) = sqrt (3 ^ 2 * 2 ^ 3) = 6sqrt (2) sqrt (3) + 6sqrt (2) - sqrt (128) + 6sqrt (3) Sappiamo che 128 = 2 ^ 7 , quindi sqrt (128) = sqrt (2 ^ 6 * 2) = 8sqrt (2) sqrt (3) + 6sqrt (2) - 8sqrt (2) + 6sqrt (3) Semplificando 7sqrt (3) - 2sqrt (2)

Qual è la radice quadrata di 7 + radice quadrata di 7 ^ 2 + radice quadrata di 7 ^ 3 + radice quadrata di 7 ^ 4 + radice quadrata di 7 ^ 5?

Sqrt (7) + sqrt (7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) La prima cosa che possiamo fare è cancellare le radici su quelle con i poteri pari. Poiché: sqrt (x ^ 2) = xe sqrt (x ^ 4) = x ^ 2 per qualsiasi numero, possiamo solo dire che sqrt (7) + sqrt (7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) = sqrt (7) + 7 + sqrt (7 ^ 3) + 49 + sqrt (7 ^ 5) Ora, 7 ^ 3 può essere riscritto come 7 ^ 2 * 7, e che 7 ^ 2 può uscire dalla radice! Lo stesso vale per 7 ^ 5 ma è stato riscritto come 7 ^ 4 * 7 sqrt (7) + sqrt (7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) = sqrt (7) + 7 + 7sqrt (7)