Qual è l'antiderivata di (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2)?

Risposta:

La risposta è # X + arctan (x) #

Spiegazione:

Prima nota che: # (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) # può essere scritto come # (1 + 1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 / (1 + x ^ 2) + (1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 + 1 / (1 + x ^ 2) #

# => Int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx = int 1 + 1 / (1 + x ^ 2) dx = int 1 dx + int 1 / (1+ x ^ 2) dx = x + int 1 / (1 + x ^ 2) dx = #

Il derivato di #arctan (x) # è # 1 / (1 + x ^ 2) #.

Ciò implica che l'antiderivata di # 1 / (1 + x ^ 2) # è #arctan (x) #

Ed è su questa base che possiamo scrivere: #int 1 + 1 / (1 + x ^ 2) dx = x + arctan (x) #

Quindi, #int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx == int 1 + 1 / (1 + x ^ 2) dx = x + arctan (x) + c #

Quindi la primitiva di # (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) # è #color (blu) (x + arctan (x)) #

# "NB:" #

Non confondere il # # Antiderivata con il integrale indefinito

L'antiderivata non implica una costante. In effetti trovare l'antiderivata non significa intergrate!

Qual è l'antiderivata della funzione di distanza?

La funzione distanza è: D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) Gestiamo questo. = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2 (Deltax) ^ 2) = sqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax Poiché l'antiderivata è fondamentalmente un integrale indefinito, questo diventa una somma infinita di dx infinitesimamente piccolo: = sumsqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax = int sqrt (1 + ((dy) / (dx)) ^ 2) dx che sembra essere la formula per la lunghezza dell'arco di qualsiasi funzione che puoi integrare maneggevolmente dopo la manipolazione.

Qual è l'antiderivata di una costante? + Esempio

Trovo più semplice pensare a questo guardando prima il derivato. Voglio dire: cosa, dopo essere stato differenziato, si tradurrebbe in una costante? Certo, una variabile di primo grado. Ad esempio, se la tua differenziazione ha come risultato f '(x) = 5, è evidente che l'antiderivata è F (x) = 5x Quindi, l'antiderivata di una costante è volte la variabile in questione (sia x, y, ecc. .) Potremmo metterlo in questo modo, matematicamente: intcdx <=> cx Si noti che c sta mutiplying 1 nell'integrale: intcolor (verde) (1) * cdx <=> cx Ciò significa che la variabile di primo g

Qual è l'antiderivata di ln x?

Intlnxdx = xlnx-x + C L'integrale (antiderivata) di lnx è interessante, perché il processo per trovarlo non è quello che ti aspetteresti. Useremo l'integrazione per parti per trovare intlnxdx: intudv = uv-intvdu Dove u e v sono funzioni di x. Qui, lasciamo: u = lnx -> (du) / dx = 1 / x-> du = 1 / xdx e dv = dx-> intdv = intdx-> v = x Facendo le sostituzioni necessarie nella formula dell'integrazione per parti, abbiamo: intlnxdx = (lnx) (x) -int (x) (1 / xdx) -> (lnx) (x) -intcancel (x) (1 / cancelxdx) = xlnx-int1dx = xlnx-x + C- > (non dimenticare la costante di integrazione!)