Come si trova una rappresentazione in serie di potenze per (arctan (x)) / (x) e qual è il raggio di convergenza?

Risposta:

Integrare la serie di potenze della derivata di #arctan (x) # quindi dividere per #X#.

Spiegazione:

Conosciamo la rappresentazione della serie di potenza di # 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx # così #absx <1 #. Così # 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n) #.

Quindi la serie di potere di #arctan (x) # è #intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1) #.

Lo dividi per #X#, scopri che la serie di potere di #arctan (x) / x # è #sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #. Diciamo #u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #

Per trovare il raggio di convergenza di questa serie di potenze, valutiamo #lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n #.

# (u_ (n + 1)) / u_n = (-1) ^ (n + 1) * x ^ (2n + 2) / (2n + 3) (2n + 1) / ((- 1) ^ nx ^ (2n)) = - (2n + 1) / (2n + 3) x ^ 2 #.

#lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n) = abs (x ^ 2) #. Quindi, se vogliamo che le serie di potenze convergano, abbiamo bisogno #abs (x ^ 2) = absx ^ 2 <1 #, quindi la serie convergerà se #absx <1 #, che non è sorprendente in quanto è il raggio di convergenza della rappresentazione della serie di potenza di #arctan (x) #.