Come si trova una rappresentazione in serie di potenze per (arctan (x)) / (x) e qual è il raggio di convergenza?

Risposta:

Integrare la serie di potenze della derivata di #arctan (x) # quindi dividere per #X#.

Spiegazione:

Conosciamo la rappresentazione della serie di potenza di # 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx # così #absx <1 #. Così # 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n) #.

Quindi la serie di potere di #arctan (x) # è #intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1) #.

Lo dividi per #X#, scopri che la serie di potere di #arctan (x) / x # è #sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #. Diciamo #u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #

Per trovare il raggio di convergenza di questa serie di potenze, valutiamo #lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n #.

# (u_ (n + 1)) / u_n = (-1) ^ (n + 1) * x ^ (2n + 2) / (2n + 3) (2n + 1) / ((- 1) ^ nx ^ (2n)) = - (2n + 1) / (2n + 3) x ^ 2 #.

#lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n) = abs (x ^ 2) #. Quindi, se vogliamo che le serie di potenze convergano, abbiamo bisogno #abs (x ^ 2) = absx ^ 2 <1 #, quindi la serie convergerà se #absx <1 #, che non è sorprendente in quanto è il raggio di convergenza della rappresentazione della serie di potenza di #arctan (x) #.

Il raggio del cerchio più grande è due volte più lungo del raggio del cerchio più piccolo. L'area della ciambella è di 75 pi. Trova il raggio del cerchio più piccolo (interno).

Il raggio più piccolo è 5 Sia r = il raggio del cerchio interno. Quindi il raggio del cerchio più grande è 2r Dal riferimento otteniamo l'equazione per l'area di un anello: A = pi (R ^ 2-r ^ 2) Sostituto 2r per R: A = pi ((2r) ^ 2- r ^ 2) Semplifica: A = pi ((4r ^ 2- r ^ 2) A = 3pir ^ 2 Sostituisci nell'area specificata: 75pi = 3pir ^ 2 Divida entrambi i lati per 3pi: 25 = r ^ 2 r = 5

I biglietti per una rappresentazione costano $ 10 per i membri e $ 24 per i non membri. Qual è un'espressione per trovare il costo totale di 4 biglietti non membri e 2 biglietti membri? Qual è il costo totale?

(2 x 10) + (4 x 24) Ricorda che le espressioni matematiche non includono i segni uguali (=).

Qual è il raggio di convergenza per questa serie di potenze? ln (1-z) = - z - 1/2 z ^ 2 - 1/3 z ^ 3 ...

Abs z <1 d / (dz) (z-1 / 2z ^ 2 + 1 / 3z ^ 3 + cdots + (- 1) ^ (n + 1) / nz ^ n + cdots) = sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k ma sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k = lim_ (n-> oo) (z ^ n + 1) / (z + 1). Considerando ora abs z <1 abbiamo sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k = 1 / (1 + z) e int sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k dz = log (1 + z) ora facendo la sostituzione z -> - z abbiamo -int sum_ (k = 0) ^ oo z ^ k dz = -sum_ (k = 1) ^ oo z ^ k / k = log (1-z) quindi è convergente per abs z <1