Qual è il raggio di convergenza per questa serie di potenze? ln (1-z) = - z - 1/2 z ^ 2 - 1/3 z ^ 3 ...

Risposta:

#abs z <1 #

Spiegazione:

# d / (dz) (z-1 / 2z ^ 2 + 1 / 3z ^ 3 + cdots + (- 1) ^ (n + 1) / nz ^ n + cdots) = sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ KZ ^ k #

#sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ k z ^ k = lim_ (n-> oo) (z ^ n + 1) / (z + 1) #. Considerando ora #abs z <1 # noi abbiamo

#sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ k z ^ k = 1 / (1 + z) # e

#int sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k dz = log (1 + z) #

ora facendo la sostituzione #z -> - Z # noi abbiamo

# -int sum_ (k = 0) ^ oo z ^ k dz = -sum_ (k = 1) ^ oo z ^ k / k = log (1-z) #

quindi è convergente per #abs z <1 #

Le aree dei due quadranti hanno un rapporto di 16:25. Qual è il rapporto tra il raggio della faccia di orologio più piccola e il raggio del quadrante più grande? Qual è il raggio del quadrante più grande?

5 A_1: A_2 = 16: 25 A = pir ^ 2 => pir_1 ^ 2: pir_2 ^ 2 = 16: 25 => (pir_1 ^ 2) / (pir_2 ^ 2) = 16/25 => (r_1 ^ 2) / (r_2 ^ 2) = 4 ^ 2/5 ^ 2 => r_1 / r_2 = 4/5 => r_1: r_2 = 4: 5 => r_2 = 5

Come trovo la convergenza o la divergenza di questa serie? somma da 1 a infinito di 1 / n ^ lnn

Converge Considera la serie sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ p, dove p> 1. Con il p-test, questa serie converge. Ora, 1 / n ^ ln n <1 / n ^ p per tutti abbastanza grandi n fintanto che p è un valore finito. Quindi, con il test di confronto diretto, sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ ln n converge. In effetti, il valore è approssimativamente uguale a 2.2381813.

Come si trova una rappresentazione in serie di potenze per (arctan (x)) / (x) e qual è il raggio di convergenza?

Integrare la serie di potenze della derivata di arctan (x) quindi dividere per x. Conosciamo la rappresentazione della serie di potenze di 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx tale che absx <1. So 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n). Quindi la serie di potenze di arctan (x) è intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1).Si divide per x, si scopre che la serie di potenze di arctan (x) / x è sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n). Diciamo u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) Per trovare il raggio di convergenza di questa serie di potenze,