Qual è il raggio di convergenza per questa serie di potenze? ln (1-z) = - z - 1/2 z ^ 2 - 1/3 z ^ 3 ...

Risposta:

#abs z <1 #

Spiegazione:

# d / (dz) (z-1 / 2z ^ 2 + 1 / 3z ^ 3 + cdots + (- 1) ^ (n + 1) / nz ^ n + cdots) = sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ KZ ^ k #

ma

#sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ k z ^ k = lim_ (n-> oo) (z ^ n + 1) / (z + 1) #. Considerando ora #abs z <1 # noi abbiamo

#sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ k z ^ k = 1 / (1 + z) # e

#int sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k dz = log (1 + z) #

ora facendo la sostituzione #z -> - Z # noi abbiamo

# -int sum_ (k = 0) ^ oo z ^ k dz = -sum_ (k = 1) ^ oo z ^ k / k = log (1-z) #

quindi è convergente per #abs z <1 #